15. Идеальные жидкости.

Для идеальной несжимаемой жидкости принцип Даламбера-Лагранжа можно сформулировать в более изящной форме, а именно идеальная несжимаемая жидкость движется таким образом, что

для всех виртуальных перемещений сохраняющих объем, или, другими словами, удовлетворяющих условию Виртуальная работа определяется здесь, как и раньше, формулой (14.1).

В соответствии с теорией множителей Лагранжа уравнение (15.1) эквивалентно следующему:

где -множитель Лагранжа, а на уже не наложено никаких условий. Интегрируя это соотношение по частям, получаем

Величина X, таким образом, играет роль "давления" и является одной из основных неизвестных задачи. Уравнения (15.2) вместе с условием неразрывности образуют четыре уравнения с четырьмя неизвестными: и I

Лагранж считал, что уравнение (15.2) справедливо и в общем случае сжимаемой идеальной жидкости, если в этом уравнении рассматривать как "силу реакции" при изменении объема. Этот метод расширения области применения уравнения, полученного в частном случае введением — посредством множителя Лагранжа — новых "сил реакции", Гамель назвал "принципом высвобождения" Лагранжа. Указанные рассуждения, хотя и приводят к правильному результату, довольно неубедительны; трудности станут очевидными, если рассмотреть сжимаемый газ, для которого давление является термодинамической переменной.

Если воспользоваться соотношением (14.5), то вариационный принцип (15.1) можно записать в форме принципа Гамильтона: при движении идеальной несжимаемой жидкости

для вариаций движения удовлетворяющих условиям

Аналогичный вариационный принцип был установлен Лихтенштейном [9, гл. 9] для движения сжимаемой идеальной жидкости. Несколько искусственный метод Лихтенштейна был позднее усовершенствован Таубом [44, стр. 148]. Наиболее

удачная формулировка этого принципа, которой мы и будем пользоваться ниже, принадлежит Херивелу.

Заметим сначала, что для механической системы с известной энергией принцип Гамильтона можно сформулировать в виде

где функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергии. Существенное отличие принципа (15.3) от установленных ранее заключается в том, что форма этого принципа не зависит от вида уравнений движения рассматриваемой задачи. Принцип (15.3) позволяет, таким образом, вывести уравнение движения совершенно независимо от принятого выше постулата о сохранении количества движения. Применим этот метод для вывода уравнений движения газа.

Будем предполагать, что движение происходит без выделения тепловой энергии или, точнее, что удельная энтропия 5 каждой жидкой частицы остается постоянной во время движения, т. е. что

При этом предположении энергия определяется формулой где кинетическая энергия, а -внутренняя энергия рассматриваемого объема жидкости;

В качестве функции Лагранжа естественно выбрать Покажем теперь, что при таком выборе 8 уравнение (15.3) приводит к правильным уравнениям движения сжимаемой идеальной жидкости.

Пусть обозначает вариацию траектории; при Как было показано выше, из предположения о том, что полученное в результате вариации

движение удовлетворяет уравнению неразрывности, следует, что вариация плотности определяется формулой (14.5). Аналогичными рассуждениями доказывается, что вариация энтропии должна удовлетворять условию

Из уравнений (14.6), (14.5) и соотношения получаем

Величина 8? определяется формулой (14.7). Мы можем теперь, преобразуя обычным способом уравнение (15.3) и используя формулы для и вывести уравнения

совпадающие, очевидно, с обычными уравнениями движения. Мы снова подчеркиваем, что они были выведены из вариационного принципа, не включающего в себя априорного знания их формы. Дело обстояло иначе при выводе уравнений движения (14.3) из вариационного принципа (14.2).

В теоретической механике уравнение энергии является следствием принципа Гамильтона. Заметим, что это верно и в нашем случае. Действительно, из соотношения

мы получаем, воспользовавшись уравнением (9.2), уравнение

которое совпадает с обычной формулировкой закона сохранения энергии для нетеплопроводной среды.

В работе, на которую мы уже ссылались, Херивел пытался обосновать уравнения движения идеальной жидкости

при помощи вариационного принципа, сформулированного в переменных Эйлера. Ему не удалось, однако, достичь полной общности; только некоторый класс течений, удовлетворяющих уравнениям Эйлера, давал экстремум построенному функционалу. Это затруднение впервые было разрешено Линь Цзя-цзяо, которым была предложена корректная формулировка вариационного принципа Херивела. Рассматриваемый вариационный принцип Херивела — Линя утверждает, что каждая экстремаль функционала

где через обозначена плотность функции Лагранжа

является течением, удовлетворяющим уравнениям Эйлера. Экстремаль функционала разыскивается при этом в классе движений, удовлетворяющих следующим законам сохранения:

здесь векторное поле определяет начальное положение частицы, находящейся в момент времени в точке х.

Сформулированную вариационную задачу можно освободить от ограничений, наложенных на вариации и Для этого нужно ввести множители Лагранжа , после

чего эта задача принимает следующий вид:

Частные вариации величин, входящих в это соотношение, приводят к уравнениям

Покажем, что уравнение (6.9) является следствием этих уравнений и двух первых соотношений (15.6). Перепишем с этой целью первое из соотношений (15.7) в виде

Применяя формулы (3.5) и (3.6), мы приходим к следующему выражению для ускорения:

Но поэтому

(Мы использовали здесь известное термодинамическое тождество

Для того чтобы придать проведенному исследованию законченный характер, нужно еще показать, что каждое сечение идеальной сжимаемой жидкости является экстремалью вариационной задачи Херивела — Линя. Этот факт был установлен автором настоящей работы (см. п. 29а).

Хотелось бы иметь возможность вывести уравнения движения вязкой жидкости на основе вариационного принципа, аналогичного принципу Херивела. Вопрос сводится по существу к тому, что необходимо в качестве дополнительного

условия постулировать уравнение энергии (в работе Херивела, например, уравнение энергии определяется условием сохранения энтропии). Без такого или какого-либо аналогичного дополнительного условия, по-видимому, невозможно получить уравнения движения вязкой жидкости из принципа Гамильтона. Так, например, Милликен показал, что из принципа вида где зависит только от нельзя вывести уравнений установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости, за исключением некоторых течений частного вида (эти течения будут рассмотрены в п. 75 нашей статьи).

Другие вариационные принципы. Кроме рассмотренных выше основных вариационных принципов, существуют различные вариационные формулировки частных задач динамики жидкости. Некоторые из этих вариационных задач мы будем рассматривать ниже в соответствующих разделах нашей статьи. Отметим, в частности, теорему Кельвина о минимуме энергии вариационные принципы Вейтмена теоремы Гельмгольца и Рэлея и т. п.