69. Завихренность.

Характерной чертой движений вязкой жидкости является наличие завихренности. В этом пункте будут выяснены причины возникновения завихренности и рассмотрены уравнения, описывающие ее распределение.

Невозможность безвихревых течений. Поле скоростей как легко видеть, удовлетворяет уравнег ниям (68.1) и (68.2), если функция гармоническая. Таким образом, безвихревое движение несжимаемой вязкой жидкости является динамически возможным. Несмотря на это, в действительности такое движение не может быть осуществлено. Причина заключается в специфике граничных условий для вязкой жидкости: на твердых граничных поверхностях должно выполняться условие прилипания (см. п. 64). Это условие, как мы знаем (см. п. 23), не осуществимо при безвихревых движениях несжимаемой жидкости. (Сказанное выше ни в коей мере не противоречит теории пограничного слоя, в которой течение вне пограничного слоя предполагается безвихревым; завихренность течения вне пограничного слоя, конечно, существует, но она настолько мала, что с точки зрения практических приложений это течение вполне можно рассматривать как безвихревое.)

В некоторых случаях, вопреки общему правилу, безвихревое движение вязкой жидкости является возможным. Примером может служить течение с потенциалом (вихрь) в области, внешней по отношению к вращающемуся круговому цилиндру; А выбирается так, чтобы на стенке цилиндра выполнялось условие прилипания. Составить у полный перечень таких исключительных случаев, по-видимому, невозможно, однако можно с уверенностью сказать, что их немного.

Распределение завихренности. Основным уравнением для распределения завихренности является следующее уравнение:

которое легко получить применением оператора к уравнению (68.4). Если в правой части этого уравнения отсутствовал бы второй член, то распределение завихренности в вязкой жидкости удовлетворяло бы теоремам Гельмгольца. Наличие этого члена показывает, однако, что малые изменения завихренности в области течения в общем случае вызывают диффузию завихренности. Рассуждения такого рода приводят к следующему практически важному результату: завихренность не может инициироваться во внутренних точках области течения вязкой несжимаемой жидкости, так что причиной появления завихренности является ее диффузия с граничных поверхностей. В реальных жидкостях существенно отличная от нуля завихренность наблюдается только в тех частях жидкости, которые проходят близко от твердых границ; ярким примером может служить спутное течение, которое возникает за кормой корабля и завихренность которого порождается только в слоях воды, проходящих в непосредственной близости от бортов. На этом же примере можно проследить затухание вихрей в возмущенной зоне вследствие вязкости. Сформулированный выше результат можно получить также, исследуя скорость изменения циркуляции вдоль замкнутой кривой В силу уравнений (25.1) и (68.2) мы имеем

здесь через обозначена произвольная поверхность, натянутая на кривую В случае плоского течения уравнение (69.1) сводится к простому уравнению

напоминающему уравнение теплопроводности. Полученная аналогия с потоком тепла служит убедительным свидетельством диффузии завихренности с граничных поверхностей внутрь области течения.

Примеры. Интересно проследить процессы возникновения и затухания вихревых возмущений в вязкой жидкости на примере некоторых частных решений уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим сначала движение по концентрическим окружностям с центром на оси, в котором величина скорости является функцией расстояния от этой оси. Завихренность определяется по формуле (12.12), а именно

Воспользовавшись тем, что зависит только от мы вместо уравнения (69.2) получаем следующее уравнение:

Частное решение этого уравнения

соответствует затуханию потенциального вихря интенсивности А. Подставив это значение в уравнение (69.3), мы находим

добавочное слагаемое здесь опущено, исходя из требования конечности на оси z. Легко видеть, что это течение в начальный момент времени является безвихревым с циркуляцией А (по контуру, охватывающему ось и во все время движения имеет одну и ту же суммарную завихренность. В фиксированной точке завихренность равна нулю при и достигает максимума в некоторый промежуточный момент времени. Нужно заметить, что кинетическая энергия, момент количества движения и энергия диссипации представляются в рассматриваемом примере расходящимися (к бесконечности) интегралами, так что такое течение в неограниченной области физически неосуществимо.

Более реальное движение соответствует полю завихренности

(это решение получается дифференцированием решения (69.4) по Скорость определяется из формулы

В этом случае циркуляция равна нулю при суммарные величины энергии и диссипации энергии конечны, а момент количества движения постоянен, так как

В фиксированный момент времени скорость равна нулю на оси и на бесконечности и достигает максимальной величины на расстоянии Величина

была названа Тэйлором "радиусом" вихря в момент времени Так как максимальная скорость затухает по закону то время, за которое интенсивность вихря радиуса с максимальной скоростью уменьшится до значения, соответствующего максимальной скорости равно

Тэйлор принимает это число за меру скорости затухания вихря.

Следует отметить в заключение пример, рассмотренный Ламбом ([8], стр. 740) и иллюстрирующий исчезновение поверхности разрыва в виде соприкасающихся слоев, движущихся с различными скоростями. Полученный при этом

результат показывает, как быстро такая поверхность сгладилась бы, если бы она действительно возникла в некоторый момент времени. Этот пример можно рассматривать так же, как движение первоначально покоящейся неограниченной жидкости, вызванное внезапно начавшимся движением плоской стенки (задача Рэлея).