§ 4. Дозвуковое потенциальное течение

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые важные теоретические вопросы, касающиеся дозвукового потенциального течения идеального газа.

45. Общие принципы.

Основными уравнениями установившегося потенциального течения является уравнение Бернулли

(где функция считается заданной) и уравнение неразрывности. Так как уравнение неразрывности можно записать в виде ил, в тензорных обозначениях,

Если воспользоваться выражениями для голученными из уравнения (45.1), то уравнение (45.2) можнр записать так:

Это широко известное дифференциальное уравнение справедливо, конечно, независимо от того, является ли течение дозвуковым. В случае плоского течения уравнение (45.3) записывается в следующем виде:

Помимо выписанного выше уравнения (45.2) [или эквивалентного ему уравнения (45.3)], для потенциала имет место также следующий закон сохранения:

в справедливости которого мы убедимся при рассмотрении одной вариационной задачи добавление).

Математически уравнение (45.3) представляет собой квазилинейное дифференциальное уравнение втррого порядка относительно потенциала скорости. Тип этого уравнения определяется свойствами квадратичной формы где произвольный вектор с действительными компонентами. Начиная с этого места, мы ограничимся рассмотрением дозвуковых течений. При этом предположении уравнение (45.3)

является эллиптическим в силу очевидного неравенства

Изучение уравнения (45.3) представляет серьезные математические трудности, так как коэффициенты зависят от поля скоростей; тем не менее удается установить ряд важных результатов.

1. Максимум модуля скорости не может достигаться во внутренней точке области течения. Для того чтобы убедиться в этом, продифференцируем уравнение (45.3) по и получим уравнение

здесь и — проекция скорости на ось некоторые коэффициенты, точное значение которых нам не понадобится. В силу условия (45.5) уравнение (45.6) относительно и является эллиптическим для любого дозвукового течения. Из общей теоремы Хопфа следует сразу, что отличное от постоянной решение и эллиптического дифференциального уравнения не может принимать максимального значения во внутренней точке. По тем же причинам это имеет место и для функций Справедливость доказываемого утверждения следует теперь из рассуждений, принадлежащих Кирхгофу (см., например, [8], § 37).

2. Обтекание препятствия; поведение потока на бесконечности. Для определенности мы рассмотрим однородный на бесконечности плоский поток, набегающий на неподвижное тело (рассматривается непрерывное обтекание). Так как течение предполагается дозвуковым, число Маха Мот меньше 1. Обозначим через скорость потока на бесконечности, направленную (для простоты) вдоль оси х. Асимптотическое поведение такого течения при определяется следующими формулами:

В этих формулах полярные координаты точки на плоскости, циркуляция, любое сколь угодно малое положительное число. Если в области течения имеются источники общей интенсивности расположенные в конечной части плоскости, то в правую часть первой формулы (45.7) нужно ввести дополнительный член и соответственно изменить вторую формулу (45.7). В том случае, когда соотношение между давлением и плотностью выражается аналитической функцией, можно получить полное разложение для а именно

При разложение (45.8) имеет вид

Эти ряды сходятся абсолютно и равномерно при достаточно больших значениях следовательно, допускают почленное дифференцирование. Полученные дифференцированием ряды обладают аналогичными свойствами сходимости.

Представляет интерес история получения разложений (45.8) и (45.8). Первоначальное предположение о виде главных членов основывалось на том, что при больших значениях уравнение, которому удовлетворяет функция, становится "близким" к уравнению

Переходя к новой переменной, т. е. полагая получаем уравнение Лапласа, асимптотика решений которого известна. Эти рассуждения кажутся довольно убедительными, но не могут служить строгим доказательством справедливости представления (45.7), кроме того, они не дают возможности определения вида остаточного члена. Впервые правильную догадку о форме полных разложений высказал

Бейтмен; правда, он включал в разложения члены которые в действительности в разложение не входят. Несколько позднее Бергман получил разложение в переменных годографа, а Ладфорд выполнил расчеты, необходимые для перехода в разложении Бергмана к физическим переменным. В этой работе было получено разложение (45.8), но еще предстояло показать, что потенциальное течение действительно обладает теми асимптотическими свойствами, на основе которых Бергман строил свое разложение. Это было сделано Финном и Джилбаргом, которые дали независимое доказательство справедливости представления (45.8). Из сказанного выше становится ясным, что формула (45.8) основывается на глубоких исследованиях, имеющих своим началом теорию Бергмана особых точек решений линейного эллиптического уравнения с частными производными и завершающихся установлением (что вовсе не просто) асимптотических свойств, которые выражены формулой (45.7).

Одним из основных приложений представления (45.7) является доказательство формулы Жуковского — Кутта для подъемной силы в случае течения сжимаемой жидкости. Джмлбарг и Финн недавно заметили, что для доказательства этой формулы действительно необходимой является более слабая оценка

Эта оценка проще, чем разложения (45.7) или (45.8), и мы приведем ее схематическое доказательство.

Следуя Джилбаргу и Финну, перейдем в уравнении (45.4) от независимой переменной х к переменной в переменных у уравнение (45.4) принимает вид

где когда точка стремится к бесконечности. Из уравнения (45.10) следует, что компоненты скорости и удовлетворяют следующим уравнениям:

Пусть теперь окружность достаточно большого радиуса; тогда в области, внешней по отношению к этой окружности коэффициенты отличаются от их предельных значений меньше, чем на Следовательно, в этой области

Аналогичным образом получаем неравенство

Таким образом, в области, внешней по отношению к 2, имеет место оценка

где Исходя из неравенства (45.11), которое математически означает, что функция осуществляет квазикомформное отображение, можно показать, что

где радиус Возвращаясь к исходным переменным, получаем оценку

из которой сразу следует представление (45.9); достаточно выбрать так, чтобы

3. Обтекание препятствия. Силы, действующие на тело. Интересно, что при обтекании тела дозвуковым потоком выражение для силы, действующей на тело, имеет тот же вид

что и в случае течения несжимаемой жидкости. Этот результат можно получить, используя рассуждения, почти не отличающиеся от классического доказательства теоремы Жуковского — Кутта (см. [8], § 370b). В самом деле, в силу оценки

(45.9) из уравнения Бернулли следует, что

Применяя теперь для определения силы, действующей на тело, формулу (10.2) и учитывая соотношение получаем

При предположении, что источники отсутствуют, из этой формулы следует равенство Такими же рассуждениями доказывается формула для подъемной силы. Легко заметить, что приведенное доказательство вполне аналогично доказательству для случая несжимаемой жидкости (см. п. 23).

Для трехмерных течений парадокс Даламбера был доказан Финном и Джилбаргом на основе асимптотической формулы