56. Основные свойства ударного перехода.

В этом пункте будут установлены четыре важных результата относительно свойств состояний газа перед ударной волной и за ее фронтом.

I. Приращение энтропии в ударном переходе имеет третий порядок малости по отношению к интенсивности разрыва

II. В ударной волне происходит сжатие газа, т. е.

III. Нормальная составляющая скорости потока относительно ударного фронта является сверхзвуковой перед фронтом и дозвуковой за фронтом.

IV. Параметры течения перед фронтом ударной волны и величина относительной нормальной скорости полностью определяют значения параметров течения за фронтом ударной волны.

Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями справедливость свойств II—IV была показана в предыдущем пункте. Интересно, что эти же свойства выполняются и для произвольного газа при довольно широких предположениях термодинамического характера 1). Точнее, мы потребуем, чтобы

1) термодинамическое состояние газа определялось единственным образом величинами давления и удельного объема;

2) имели место неравенства

[Предполагается также, что все точки первого квадранта плоскости определяют возможные термодинамические состояния. Если условия 1 и 2 не выполняются во всем квадранте, наши рассуждения будут справедливы (с незначительными изменениями) в любой выпуклой области, в которой эти условия имеют место.]

Прежде чем перейти к доказательству свойств I—IV, мы заметим, что в наших предположениях адиабаты в плоскости представляют собой выпуклые монотонно убывающие кривые (рис. 13). Более того, можно было бы показать, что из условий 1 и 2 следует, что величина всюду имеет один и тот же знак. Мы будем предполагать для определенности, что

на практике, как правило, имеет место именно этот случай. [Известно лишь несколько примеров, когда имеет место обратное неравенство; наиболее интересным из них является вода при температурах ниже Случай такого обратного неравенства почти не требует дополнительных рассуждений.] В силу неравенства (56.1) адиабаты, соответствующие большим значениям энтропии, расположены в плоскости выше и правее, чем адиабаты, соответствующие меньшим значениям энтропии.

Рис. 13. Адиабаты в плоскости

Доказательство свойств I—IV. Рассмотрим функцию

где некоторая фиксированная точка. Легко видеть, что кривая Гюгонио соответствующая состоянию представляет собой геометрическое место точек плоскости для которых Любое состояние которое может быть достигнуто из состояния при ударном переходе, должно лежать на Из

соотношения следует, что дифференциал функции имеет вид

Так как на кривой Гюгонио то из соотношения (56.3) следует что

Введя в рассмотрение второй и третий дифференциалы функции и вычислив их значение в точке найдем, что

вдоль в точке Выбрав в качестве независимой переменной х, мы получим для Таким образом, утверждение I доказано.

Обозначим через

угловой коэффициент прямой, соединяющей точки . С учетом этого обозначения формулу (56.3) можно записать так:

В силу выпуклости адиабаты проходящей через угловой коэффициент возрастает при перемещении вдоль кривой слева направо. Из формулы (56.4) теперь следует, что

Так как в точке это означает, что на верхней части на ее нижней части (см. рис. 13). Если обозначить через луч проходящий через точку то вдоль мы имеем

Рассмотрим луч который имеет с только одну общую точку Тогда в силу неравенства (56.1) при движении вдоль из точки дифференциал будет все

время иметь либо знак плюс, либо знак минус (в зависимости от того, выше или ниже лежит рассматриваемый нами луч). Так как такой луч не может иметь отличных от точек, в которых Пусть теперь луч пересекает адиабату в точке лежащей на верхней части . В силу выпуклости адиабаты из геометрических соображений очевидно, что при движении вдоль из точки значение сначала увеличивается — на отрезке от точки до точки рис. 13), — а затем уменьшается. Так как то при движении вдоль из точки величина также сначала увеличивается, а затем уменьшается. Но в точке как уже было указано, следовательно, на существует единственная лежащая между и точка в которой Энтропия в этой точке, очевидно, больше энтропии в точке

Наконец, если пересекает адиабату в ее нижней части, то из тех же соображений следует, что на не может быть более одной точки, где Такая точка будет лежать ниже (напомним, что на нижней части следовательно, в этой точке

Таким образом, мы показали, что кривая Гюгонио представляет собой кривую без точек самопересечения, проходящую через точку причем верхней части этой кривой и на ее нижней части. Из пятого соотношения (54.5) следует, что при ударном переходе из состояния перед фронтом могут быть достигнуты только те состояния которые расположены на верхней части кривой Гюгонио. Так как на этой части кривой утверждение II доказано.

Для доказательства утверждения III заметим (см. рис. 13), что для ударного перехода из состояния в состояние должны выполняться следующие неравенства:

Так как и [см. уравнение (54.9)]

из двух неравенств (56.5) следует соответственно, что т. е. что величина нормальной составляющей

относительной скорости перед скачком больше скорости звука, а за скачком меньше скорости звука.

Наконец, если заданы состояние перед скачком и нормальная составляющая относительной скорости, то для определения состояния за скачком нужно найти точку пересечения верхней части кривой Гюгонио и луча с угловым коэффициентом Легко видеть, что при условии (если это условие не выполняется, то скачок невозможен) эта точка определяется однозначно. Величина находится после этого по формуле

В заключение заметим, что монотонно убывает (по абсолютной величине монотонно возрастает), когда движется по верхней части кривой Гюгонио в направлении от точки Кроме того, в силу соотношения (56.4) при уменьшении величина 5 увеличивается. Таким образом, при заданном термодинамическом состоянии перед фронтом ударной волны большим значениям отвечают при переходе через разрыв большие изменения энтропии. Например, приращение энтропии на отошедшей ударной волне, возникающей при полете со сверхзвуковой скоростью, достигает максимума на центральной линии тока и монотонно убывает при удалении от этой линии вдоль фронта.