75. Теорема Гельмгольца — Рэлея о диссипации.

Некоторые интересные общие результаты относительно диссипации энергии в движении вязкой жидкости были получены Гельмгольцем и Рэлеем. В основе этих результатов лежит предположение о потенциальности поля вектора предположение, что

Обращаясь к уравнению Навье — Стокса, мы видим, что предположение (75.1) эквивалентно предположению о потенциальности вектора ускорения. Условие (75.1) удовлетворяется, в частности, для плоских слоистых течений, течений Пуазейля и Куэтта, установившегося течения Бельтрами и вообще для любого течения, в котором можно пренебречь инерционными членами. В этот класс входят течения весьма частного вида, но тот факт, что исследования носят законченный и строгий характер, имеет большое значение.

Рассмотрим движение жидкости, удовлетворяющее условию (75.1) в некоторой ограниченной области Пусть вектор скорости этого движения, вектор скорости другого произвольного движения несжимаемой жидкости. Пусть, наконец, и обозначают диссипации, соответствующие полям (заметим, что поля могут и не являться динамически возможными). Тогда мы имеем следующую формулу:

несколько обобщающую соответствующий результат Рэлея и Гельмгольца. Для доказательства этой формулы заметим, что

и (в тензорных обозначениях)

мы воспользовались здесь уравнением неразрывности Преобразовав последний интеграл при помощи соотношений

к виду

мы получим формулу (75.2).

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из формулы Гельмгольца — Рэлея. Предположим сначала, что течение имеет на в такое же распределение скорости, как и исходное течение, т. е. что на в. Тогда в формуле (75.2) интеграл по поверхности обратится в нуль и, так как мы получаем следующую теорему.

Теорема Гельмгольца: Течение несжимаемой вязкой жидкости, удовлетворяющее условию (75.1), характеризуется тем свойством, что для этого течения диссипация энергии в любой области меньше диссипации энергии для любого другого течения с тем же распределением скорости на границе.

В качестве следующего приложения формулы (75.2) рассмотрим обобщенное течение Пуазейля (ламинарное течение) в прямой трубке произвольного сечения Так как компоненты скорости уравнение Навье — Стокса принимает вид

и мы видим, что условие (75.1) выполняется пои

Заметим, кроме того, что давление должно быть линейной функцией от Выберем за область в формуле Гельмгольца — Рэлея отрезок трубки длины I и предположим, что возмущенное течение является ламинарным или удовлетворяет более слабому требованию периодичности функции по переменной с периодом I. Тогда, поскольку на стенках трубки мы получаем для интегралов, входящих в

формулу (75.2), следующие значения:

где - перепад давления на рассматриваемом участке трубки, а расходы исходного и возмущенного течений соответственно. Формула Гельмгольца — Рэлея принимает, таким образом, вид

и мы приходим к следующему результату.

Теорема: Установившееся ламинарное течение несжимаемой вязкой жидкости в прямой трубке произвольного сечения характеризуется тем свойством, что для него диссипация энергии меньше диссипации энергии для любого другого ламинарного (или периодического по длине трубки) течения с тем же расходом.

Предположим теперь, что течение имеет такой же перепад давлений как и ламинарное течение Тогда можно показать, что

где кинетическая энергия течения в рассматриваемом сечении трубки. Для доказательства формулы (75.5) заметим сначала, что в силу уравнения (68.5)

В этих уравнениях можно заменить на так как течения предполагаются периодическими по длине трубки; очевидно также, что Используя представление (75.4), мы получаем соотношение

Для того чтобы получить формулу (75.5), остается вычислить последний интеграл, что легко сделать, так как на стенках трубки подинтегральная функция обращается в нуль, а на концах рассматриваемого сечения равны соответственно силу периодичности течения).

Применим формулу (75.5) к течению такому, что Тогда следовательно, монотонно убывает до тех пор, пока

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема о неустойчивости: Периодическое по пространственным переменным течение в прямой трубке с заданным на периоде перепадом давления является неустойчивым, если расход этого течения превосходит расход ламинарного течения с тем же перепадом давления.

Этот результат можно сформулировать несколько иначе, что подчеркнет его физический смысл.

Перепад давления, необходимый для поддержания заданного расхода через сечение трубки, для турбулентного течения больше, чем для ламинарного.

Доказанная теорема о неустойчивости имеет большое практическое значение и находится в полном соответствии с экспериментами. (Условие периодичности турбулентного течения в каждый момент времени можно было бы заменить менее ограничительным требованием независимости от усредненного по времени течения; в этом случае под диссипацией энергии следует понимать, конечно, ее усредненное, а не мгновенное значение.)