6. Уравнения движения.

Мы переходим теперь к рассмотрению динамики движения жидкости и ставим перед собой задачу получить те уравнения, которые описывают действия на жидкость внешних и внутренних сил. В этом пункте мы дадим, вероятно, наиболее прямое и обоснованное исследование этого вопроса, намеченное в основных чертах еще в работах Эйлера и Коши.

Мы принимаем в качестве постулата принцип напряжений Коши, утверждающий, что для любой замкнутой поверхности существует распределение вектора напряжений с результирующей и моментом, эквивалентными полю сил, действующих на сплошную среду, заключенную внутри со стороны среды, расположенной вне этой поверхности. Предполагается при этом, что в данный момент времени вектор зависит только от положения и ориентации элемента поверхности другими словами, если обозначить через внешнюю нормаль к поверхности то Как отмечает Трусделл, принцип Коши обладает "гениальной простотой. Его подлинную глубину можно оценить, только представив себе, что целое столетие выдающиеся геометры использовали при исследовании довольно частных задач упругости очень сложные, а иногда и не совсем корректные методы. В их работах нет даже намека на эту основную идею, которая сразу наметила ясные пути обоснования механики сплошных сред.

Мы сформулируем теперь основной принцип динамики движения жидкости, носящий название принципа сохранения количества движения", скорость изменения количества движения жидкости, заключенной в движущемся объеме равна результирующей сил, действующих на эту жидкость. Аналитическим выражением этого

принципа является уравнение

где через обозначено поле внешних сил, отнесенных к единице массы. В формулировке (6.1) принципа неявно предполагается, что сила является известной функцией, зависящей от выбранной точки пространства, времени и, возможно, состояния движения жидкости. Заметим, что при такой точке зрения обходится одна из главных проблем обоснования механики, а именно проблема определения системы координат, в которой является известной функцией, или по крайней мере доказательства существования такой системы координат. Однако в приложениях механики жидкости инерциальность рассматриваемой системы координат обычно не вызывает сомнений и переход от сформулированного принципа сохранения количества движения к уравнению (6.1) является, очевидно, законным. Используя формулу (5.7), уравнение (6.1) можно записать в виде

Рис. 1. Напряжения на тетраэдре.

(Здесь интегрирование по движущемуся объему можно заменить интегрированием по неподвижному объему.)

Отметим одно важное следствие уравнения (6.2). Пусть есть величина объема области разделив обе части равенства (6.2) на мы получим в пределе, когда при одном только предположении ограниченности подицтегральной функции

Это равенство показывает, что силы напряжений находятся в локальном равновесии. Рассмотрим теперь тетраэдр, изображенный на рис. 1, с вершиной в некоторой произвольной

точке х и тремя гранями, параллельными координатным плоскостям. Обозначим нормаль к наклонной грани и площадь этой грани соответственно через и Нормалями к трем остальным граням являются векторы а их площади равны Применим формулу (6.3) к семейству тетраэдров с площадью наклонной грани и фиксированной нормалью Так как является непрерывной функцией точки, мы получим

здесь сокращенно обозначает Эта формула доказана нами только при положительных Для того чтобы проверить ее справедливость при более широких предположениях, заметим сначала, что по непрерывности эта формула остается справедливой при 0. Отсюда, в частности, следует, что

Рассматривая теперь тетраэдры в других октантах и применяя соотношения (6.5), нетрудно убедиться, что формула

справедлива для произвольного вектора Следовательно, представляет собой линейную функцию компонент вектора

Матрица коэффициентов образует, очевидно, тензор; этот тензор называется тензором напряжений и обозначается в нашей работе через Каждая компонента имеет простую физическую интерпретацию, а именно есть компонента по оси силы, действующей на поверхностный элемент с внешней нормалью, направленной по оси Приведенные рассуждения в сущности принадлежат Коши.

Заменяя в уравнении на и применяя теорему Гаусса — Остроградского, мы получаем, что

а так как объем произволен, отсюда следует, что

Впервые это изящное уравнение движения было получено Коши. Оно справедливо не только для жидкости, но и вообще для любой сплошной среды независимо от вида тензора напряжений.

Идеальная жидкость. Во всех реальных жидкостях могут возникать, очевидно, тангенциальные напряжения на поверхностных элементах, так что направление силы не будет, вообще говоря, ортогонально элементу поверхности, к которому эта сила приложена. Тем не менее во многих практических задачах тангенциальные напряжения играют незначительную роль и поэтому представляет интерес изучение идеализированной среды, в которой тангенциальные напряжения отсутствуют. Итак, по определению, для идеальной жидкости

Величина носит название давления: когда силы действующие на замкнутую поверхность, стремятся сжать жидкость, заключенную внутри этой поверхности. Сопоставив равенства (6.6) и (6.8), мы найдем, что Величина не зависит, таким образом, от и

Уравнения движения принимают в рассматриваемом случае более простой вид

Полученную нами систему, состоящую из трех уравнений, соответствующих уравнениям (6.7) или (6.9), и уравнения (5.3), можно рассматривать как систему относительно четырех неизвестных: и трех компонент скорости Переменные входящие в уравнения (6.7) и (6.9), на

основании соображений термодинамического и механического характера могут быть непосредственно выражены через плотность и компоненты скорости. Различные возможные варианты будут рассмотрены в следующих главах.

У равнения движения в переменных Лагранжа. В случае идеальной жидкости нетрудно получить уравнения, которым удовлетворяют как функции переменных Действительно, умножив обе части уравнения (6.9) на и воспользовавшись равенством мы получим, что

Эти уравнения можно записать в векторной форме так:

За исключением случая одномерных течений, уравнения (6.10) почти не используются, так как их применение довольно неудобно. Необходимость в них возникает, однако, каждый раз, когда нужно отличать одну частицу от другой, например в случае неоднородной жидкости. Уравнения движения вязкой жидкости в переменных Лагранжа, вероятно, не применяются вообще.