17. Конвекция завихренности.

Изучение изменения во времени поля вектора завихренности является одним из наиболее важных методов получения информации о движении жидкости. Имея это в виду, мы выведем сейчас кинематическое соотношение, определяющее скорость изменения завихренности в произвольном течении сплошной среды. Отправным пунктом нам послужит хорошо известное тождество

Применив оператор к обеим частям уравнения (3.5), мы в силу равенства (17.1) получим

Из этого уравнения и уравнения (5.3) следует уравнение диффузии Бельтрами, а именно уравнение

Применим теперь этот результат к баротропному течению идеальной жидкости. В этом случае в силу формулы так что уравнение (17.2) принимает следующий вид:

Это изящное уравнение описывает конвекцию завихренности при баротропном движении. Интересно, что уравнение (17.3), рассматриваемое как дифференциальное уравнение относительно допускает точное интегрирование. Действительно, введем новую неизвестную с, определяемую равенством

Эта замена переменных корректна, так как Тогда, как показывают простые вычисления,

Подставляя в формулу получаем следовательно,

Этот замечательный результат был получен, правда, из совсем других соображений, Коши в 1815 г.

Отметим три важных следствия уравнения (17.5).

1. Сохраняемость вихревых линий. Это означает просто, что множество частиц, образующее вихревую линию в некоторый момент времени, при преобразовании переходит в множество, являющееся вихревой линией во все последующие моменты времени. Для доказательства этого удивительного факта достаточно показать, что направление касательное к вихревой линии в некоторый момент времени, перемещается вместе с жидкостью таким образом, что во все

время движения остается касательным к вихревой линии. Так как при то в любой другой момент времени

и мы действительно получаем, что вектор направлен по касательной к вихревой линии. Кстати, уравнение (17.6) показывает, что длина элемента дуги вихревой линии изменяется в соответствии с формулой

Исследование вихревых линий будет продолжено в п. 25,

2. Теорема Лагранжа — Коши. Если частица жидкости или некоторый объем жидкости находились первоначально в безвихревом движении, то это свойство сохранится во все время движения. Это утверждение является очевидным следствием формулы Коши (17.5).

3. В случае плоского движения мы имеем

Таким образом, вектор направлен по нормали к плоскости течения и Из уравнения (17.3) следует, что для фиксированной частицы жидкости этот факт наглядно иллюстрирует следствия 1 и 2, сформулированные выше. Аналогично для осесимметричного течения

(см. п. 12). Из уравнения (17.7) следует, что для фиксированной частицы жидкости Этот результат можно

было бы получить, исходя, как и в случае плоского течения, из уравнения (17.3), однако вывод был бы не столь прост.