76. Теоремы Бернулли.

Из условия введенного в предыдущем пункте, вытекают и некоторые другие следствия. В частности, для течений, удовлетворяющих этому условию, поле вектора ускорений потенциально:

и, следовательно, на рассматриваемый случай переносятся почти все результаты, приведенные в гл. 3. Сохраняют силу, например, формулы (17.3) и (17.5) для конвекции завихренности, теорема Кельвина о циркуляции и теоремы Гельмгольца о вихрях. Теорема Кельвина, в частности, показывает, что необходимым и достаточным условием выполнения соотношения

в течении несжимаемой вязкой жидкости является условие сохранения циркуляции по любому контуру, движущемуся вместе с жидкостью.

Наконец, так как вывод теоремы Бернулли в п. 18 был основан только на существовании потенциала ускорения, результаты этого пункта останутся в силе, если мы всюду прибавим к добавочный член Таким образом, в установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости, сохраняющем циркуляцию, функция

постоянна вдоль линий тока и вихревых линий. Аналогичное утверждение справедливо и при более слабом требовании независимости от времени только поля завихренности (см. п. 18).

Класс течений, удовлетворяющих условию (75.1), охватывает лишь незначительную часть всех возможных течений вязкой жидкости, однако течения этого класса могут оказаться полезными для построения новых точных решений уравнений Навье — Стокса при помощи полуобратных методов. Эти возможности еще относительно мало изучены.

Для течений, не сохраняющих циркуляцию [или, эквивалентно, для течений, не удовлетворяющих условию (75.1)], теорема Бернулли в ее обычном виде, вообще говоря, неверна. Легко показать, однако, что в установившемся течении функция Бернулли

постоянна вдоль каждой траектории поля направлений

Этот результат является непосредственным следствием уравнения (68.4). Поле вектора X вырождается в тех случаях, когда когда или когда векторы параллельны. В первых двух случаях поле вектора потенциально и применима предыдущая теорема Бернулли. Наконец, если векторы и параллельны, то из уравнения (68.4) непосредственно следует, что верна теорема Бернулли в ее классической формулировке, т. е. что функция постоянна на линиях "тока и вихревых линиях.

Отметим еще одно интересное свойство функции Н: в установившемся движении вязкой жидкости максимум достигается на границе области течения. Для доказательства этого утверждения заметим, что в силу уравнения (68.4) имеют место следующие соотношения:

и

С другой стороны, мы имеем легко проверяемое тождество

которое позволяет объединить соотношения (76.2) и (76.3). В результате находим для следующее уравнение:

Как известно, для эллиптических уравнений вида (76.4) справедлив принцип максимума (см. примечание 1 на стр. 136). Напомним, что аналогичные результаты были получены нами в п. 28.