53. Исключение давления и плотности из уравнений движения.

Представляет определенный интерес задача об исключении из системы уравнений (35.1) — (35.4) и выяснения посредством этого условий существования и единственности поля скоростей произвольного движения жидкости. В общей постановке эта задача была решена недавно Беркером, однако из-за сложности исследуемого вопроса мы рекомендуем читателю по поводу общей задачи обратиться к первоисточнику. В работе Беркера получено также несколько новых точных решений.

Исследование вопроса несколько упрощается, если ограничиться плоскими установившимися течениями. Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями Эриксен получил систему уравнений:

в которую входят только число Маха и величины, определяющие геометрическую картину течения и К — кривизны линий тока и их ортогональных траекторий). Из условия совместности системы (53.1), т. е. из соотношения

где он нашел, что

здесь а коэффициенты зависят только от х, К и их производных. Отметим два интересных следствия этого результата:

1. Если известна картина линий тока (например, по фотографии), то уравнение (53.3) позволяет определить число Маха, а следовательно, и скорости соответствующего течения.

2. Не может существовать более трех различных течений, соответствующих одной и той же картине линий тока.

В случае безвихревого плоского движения вопрос об исключении давления и плотности был решен нами при выводе уравнений (41.4) в естественных координатах. Применение к этим уравнениям условия совместности (53.2), где приводит к квадратному уравнению относительно О, поэтому не может существовать более двух различных безвихревых течений с заданной картиной линий тока. Используя другой метод, Эриксен показал, что на самом деле существует только одно такое течение. Точнее, им доказано следующее утверждение:

Два плоских безвихревых течения совершенного газа, имеющих одну и ту же картину линий тока, являются динамически подобными.