13. Риманово пространство.

С точки зрения выяснения логической структуры основ механики жидкости представляет интерес вывод уравнений гидродинамики в римановом пространстве с заданной в некоторой системе координат метрикой

Вообще говоря, в этом пространстве нельзя ввести декартову систему координат и, следовательно, нельзя применить непосредственно проведенные выше рассуждения для вывода "уравнений движения".

Движение в римановом пространстве описывается преобразованием типа (3.1), но теперь I принимает значения от 1 до Мы принимаем в качестве определения компонент вектора скорости соотношения и по аналогии с определением материальной производной для евклидова пространства полагаем

(Это определение обладает тем свойством, которое имело бы место для пространства, помещенного в евклидово пространство высшей размерности. Если, например, мы рассмотрим

поверхность в трехмерном пространстве, то материальная производная, понимаемая в смысле (13.1), является проекцией на поверхность "естественной" материальной производной евклидова пространства.)

Уравнение неразрывности легко получить, пользуясь методами п. 4 и 5. Формула (4.2) заменяется при этом формулой

а вместо уравнения (3.8) используется уравнение

Во всем остальном рассуждения полностью совпадают и приводят в конце концов к уравнению

идентичному уравнению (12.2), но полученному без привлечения декартовой системы координат.

Вывод уравнения движения включает в себя динамические рассуждения, которые, по-видимому, нельзя приспособить к риманову пространству; в частности, неясно, как надо формулировать принцип сохранения количества движения. Тем не менее нам кажется естественным принять уравнение (12.3) в качестве постулата. В этом случае дальнейшее исследование проводится точно так же, как и в обычной гидродинамике.