§ 5. Сверхзвуковое течение и характеристики

Теория неустановившихся течений и сверхзвуковых течений сжимаемой жидкости основана в значительной степени на существовании в области течения характеристических кривых или поверхностей. Действительно, успех в исследовании свойств газов, движущихся со сверхзвуковыми скоростями, определяется в большинстве случаев представлениями, связанными с полем характеристик, и большинство интересных примеров решений получено на основе свойств этого поля.

48. Природа характеристик.

Рассмотрим сначала произвольное течение некоторой сжимаемой жидкости. Пусть некоторое трехмерное многообразие четырехмерной области течения пространства или, в менее абстрактной форме, пусть некоторая движущаяся поверхность в трехмерной физической области течения. Предположим теперь, что нам известны значения параметров течения и 5 на поверхности.

Тогда при помощи уравнений (35.1) — (35.4) мы, вообще говоря, можем единственным образом определить производные от этих величин в точках Метод получения этих производных обычен: производные по касательным к направлениям определяются непосредственно по заданным на значениям функций, а нормальные производные получаются из системы уравнений (35.1) — (35.4), линейных относительно этих неизвестных производных. Может случиться, однако, что система уравнений (35.1) — (35.4) не позволяет определить величины нормальных производных. В этом случае говорят, что характеристическое многообразие. Смысл условий, определяющих характеристическое многообразие, станет более ясным, если заметить, что два решения могут "касаться" только вдоль этих характеристических многообразий, или, иначе говоря, производные от решения могут претерпевать разрыв только на этих поверхностях. Можно отметить также большую роль, которую играют характеристические многообразия в распространении возмущений в поле течения; эта роль более или менее ясна на основе вышесказанного.

В следующих двух пунктах мы рассмотрим частный случай установившегося течения. Характеристическое многообразие при этом не зависит от и представляет собой, следовательно, кривые в случае плоского течения и поверхности в случае пространственного течения. Из последующего станет ясным, что в дозвуковом установившемся течении не может существовать характеристик, отличных от линий тока. В силу этого наши рассуждения в п. 49—50 направлены в основном на изучение сверхзвуковых течений. В п. 51 семейство характеристических многообразий изучается несколько с других позиций, что позволяет дополнить предыдущие рассуждения.

Стройная теория характеристических кривых одномерных неустановившихся течений в этой статье не освещается, так как она достаточно хорошо изложена в ряде учебников.