39. Изэнтропическое течение, изоэнергетическое течение и безвихревое установившееся течение.

Мы хотим выяснить, как связаны между собой установившиеся течения следующих типов:

(см. скан)

Интерес к течениям этих типов обусловлен их относительной простотой и широким применением.

Рассмотрим сначала течение, возникшее из состояния равномерного движения с постоянной температурой, давлением, плотностью и т. д. Если это течение является непрерывным, то в силу уравнения (35.3) величина энтропии постоянна во всей области течения, и здесь можно воспользоваться рассуждениями, проведенными в п. 21. Из аналогичных соображений вытекает постоянство энергии и потенциальность движения. Энергия будет постоянной даже в том случае, когда имеют место ударные волны, однако течение является при этом, вообще говоря, неизэнтропическим. Сформулируем теперь результаты исследования поставленного вопроса о соотношении течений различных типов в виде теорем.

Теорема 1. Плоское (или осесимметричное) установившееся изэнтропическое течение с постоянной энергией является безвихревым.

Доказательство. В силу уравнения Крокко-Важоньи во всей области течения Следовательно, за исключением, быть может, тех точек, где скорость равна нулю. Если эти точки являются изолированными, то по непрерывности всюду; с другой стороны, если эти точки заполняют некоторую область, то очевидно, что в этой области

Ниже следует теорема, в некотором смысле обратная предыдущей. Эта теорема применима и в трехмерном случае.

Теорема 2. Установившееся безвихревое течение либо является изэнтропическим и имеет постоянную

энергию, либо представляет собой течение геликоидального типа.

Доказательство. Если данное безвихревое течение является изэнтропическим, то оно будет иметь также постоянную энергию в силу уравнения Крокко — Важоньи. Таким образом, мы должны доказать, что если в некоторой области течение не является изэнтропическим, то оно геликоидально в этой области. Разобьем доказательство на две части. Покажем сначала, что на любой линии тока скорость и плотность постоянны. Воспользовавшись уравнением (38.1) и уравнением состояния (35.4), получим

Первая часть этого равенства означает, что и (всюду, где Тогда из второй части равенства следует, что во всей рассматриваемой области

Таким образом, и в силу первого замечания Так как на линиях тока первая часть доказательства завершена.

Докажем теперь, что безвихревое течение является геликоидальным, если скорость и плотность постоянны на любой линии тока в области течения. Так как вдоль линии тока величина постоянна, уравнение (35.1) сводится к условию Принимая во внимание потенциальность течения, мы видим, что потенциал является гармонической функцией; кроме того, на линиях тока Теперь мы можем сослаться на результат Гамеля, согласно которому течение с описанными выше свойствами является геликоидальным.

Так как доказательство Гамеля является очень сложным, мы дадим здесь в качестве добавления элементарное доказательство этого факта в случае плоского течения. (Ясно, что геликоидальное течение в этом случае представляет собой течение с точечным вихрем.) Из уравнения (20.5), носящего чисто кинематический характер и справедливого поэтому для любого двумерного течения, вытекает следующая формула для кривизны линий тока:

где функция тока. Мы видим из этой формулы, что величина постоянна вдоль линии тока и, следовательно, линии тока являются окружностями. Более того, так как производная

зависит только от линии тока представляют собой концентрические окружности.

Связь между теоремами 1 и 2 становится более ясной, если несколько ослабить доказываемые в них утверждения и сформулировать теоремы следующим образом.

В установившемся изэнтропическом течении с постоянной энергией вектор завихренности удовлетворяет соотношению

Если в области установившегося течения то течение либо является изэнтропическим с постоянной энергией, либо имеет на линиях тока постоянную скорость.

Рассмотрим теперь установившееся течение газа, уравнение состояния которого имеет вид

Мы покажем, что либо либо всегда можно считать постоянными во всей области течения. В самом деле, рассмотрим сопряженное течение".

где некоторая скалярная функция, принимающая на линиях тока постоянные значения. Нетрудно убедиться, что так определенное сопряженное течение удовлетворяет уравнениям движения (35.1) — (35.3). Легко видеть также, что

и уравнение Бернулли имеет вид

Таким образом, сопряженное течение имеет такую же картину линий тока, такое же распределение давления и те же числа Маха, что и исходное течение. Замечаем далее, что если в качестве взять энтропия сопряженного течения будет постоянной; если же положить то энергия сопряженного течения будет постоянной (последнее утверждение остается в силе даже тогда, когда в области течения имеют место ударные волны). Таким образом, действительно всегда можно сделать либо величину 5, либо величину постоянной во всей области течения.

В общем случае нельзя добиться, чтобы для сопряженного течения обе величины были постоянными. Точнее, сопряженное течение с постоянными существуют в том и только в том случае, когда давление торможения постоянно во всей области течения.

(По определению, давление торможения представляет собой величину давления, соответствующую в уравнении Бернулли, так что Легко видеть, что величина постоянна на линиях тока.) Для доказательства сформулированного утверждения заметим, что если постоянно во всей области течения, то и также постоянно в силу равенства этих давлений. Выбрав так, чтобы величина была постоянной, мы получим течение, для которого величина также постоянна. Необходимость проверяется аналогично.

В силу уравнения Крокко — Важоньи для течений с постоянными имеет место соотношение

(уравнение Крокко-Важоньи справедливо, конечно, и для сопряженного течения). Течения, удовлетворяющие условию (39.3), носят название обобщенных течений Бельтрами. Этот класс течений получается из течений Бельтрами заменой (39.2).

В заключение мы отметим, что рассмотрение сопряженных течений представляет интерес главным образом для вихревых движений и применяется только в случае установившегося течения газа, уравнение состояния которого записывается в виде (39.1).