24. Теорема Кельвина о минимуме энергии.

Рассмотрим движения жидкости в ограниченной односвязной области удовлетворяющие на границе условию

где некоторая заданная на функция. Другими словами, проекция количества движения на нормаль имеет в точках для всех течений рассматриваемого класса одно и то же значение. Следующий признак является характерным для безвихревого движения в классе всех движений несжимаемой жидкости, удовлетворяющих условию (24.1).

Принцип Кельвина. Среди всех течений несжимаемой жидкости в области удовлетворяющих условию (24.1), безвихревое течение имеет минимальную кинетическую энергию.

Классическое доказательство этого результата, принадлежащее Кельвину, можно найти в книге Ламба ([8], § 45). Справедливо и обратное утверждение; это утверждение является по существу переформулировкой известного принципа Дирихле для гармонических функций.

Принцип Дирихле. В классе всех безвихревых течений в области наибольшее значение функционалу

дает течение, удовлетворяющее условиям

Множитель фигурирующий в формулах (24.2) и (24.3), представляет собой некоторую заранее заданную постоянную, которую естественно принять за плотность течения, дающего максимум функционалу (24.2). Движения рассматриваемого класса не обязаны удовлетворять условию и их плотности, следовательно, нельзя отождествлять с Для доказательства принципа Дирихле обозначим через потенциал безвихревого движения, удовлетворяющего условиям (24.3). Ясно, что является гармонической функцией и определяется единственным образом с точностью до аддитивной постоянной. Простые преобразования приводят к следующему равенству:

где через обозначен потенциал любого другого течения. Таким образом, причем равенство возможно тогда и только тогда, когда что и требовалось доказать.

Очевидно, что решения двух вариационных задач, сформулированных выше, совпадают. Более того, минимальное значение энергии в принципе Кельвина в точности равно максимуму 3 6 принципе Дирихле. Это следует из того, что для течения с экстремальной энергией

и