36. Динамическое подобие.

В этом пункте мы будем считать, что читатель знаком с обычной инженерной трактовкой понятия динамического подобия, и постараемся четко изложить математические принципы, лежащие в основе рассматриваемого вопроса. Заметим, что понятие динамического подобия принадлежит Стоксу. В его работе о движении маятника в тормозящей жидкой среде не только впервые было сформулировано понятие динамического подобия, но и в первый раз фигурировала комбинация параметров течения, носящая сейчас название числа Рейнольдса.

Два течения идеальной жидкости называются динамически подобными, если переменные этих течений связаны соотношениями

и

где постоянные подобия. Покажем сейчас, что эти постоянные связаны некоторым соотношением, иначе говоря, что определенные комбинации постоянных подобия должны иметь одно и то же значение для всех подобных между собой течений. Подставив соотношения (36.1) и (36.2) в уравнение неразрывности, мы найдем, что

Так как течение, параметры которого помечены штрихами, также удовлетворяет уравнению неразрывности, отсюда следует, что

(исключением является случай установившегося течения, однако в этом случае вторая формула (36.2) теряет смысл). Оставшиеся уравнения движения при помощи соотношения (36.3) можно представить в виде

Из первого из этих уравнений следует соотношение

Если записать теперь уравнение состояния "штрихованного" течения в виде то

Взяв материальную производную от обеих частей равенства (36.5) и воспользовавшись тем, что мы после сокращения на общий множитель получим

В качестве следствия равенств (36.4) и (36.6) можно сформулировать следующее утверждение: если два течения являются динамически подобными, то местное число Маха этих течений принимает равные значения в соответствующих точках областей течений.

Полученное выше условие не является единственным следствием динамического подобия. Легко убедиться, что соотношение (36.5) между не должно зависеть от величины (в противном случае оба течения представляли бы собой движения несжимаемой жидкости). Например, в случае совершенного газа соотношение сводится к соотношению

которое служит для определения энтропии "штрихованного" течения.

В приложениях (например, при экспериментах в аэродинамической трубе) добиваются того, чтобы области течений были геометрически подобны и приведенные скорости были согласованы в одной точке При этих обстоятельствах динамически подобные течения являются теоретически возможными, если соотношение (36.5) выполняется. Возникает вопрос, будут ли такие течения реализованы в действительности. Ясно, что мы можем быть в этом уверены только тогда, когда течение единственным образом определяется условием, заданным в точке Как будет показано ниже, теорема единственности справедлива по крайней мере в случае дозвукового обтекания препятствия при заданном состоянии потока на бесконечности (см. п. 46). Однако в действительности при экспериментах в аэродинамической трубе ситуация сильно усложняется действием различного рода посторонних факторов, так что вопрос о динамическом подобии следует решать — по крайней мере частично — исходя из опытных данных.

Выше было показано, что если уравнение состояния совершенного газа выполняется, то возможны различные динамически подобные течения. Оказывается, что справедливо и

обратное утверждение: если возможны динамически подобные течения двух газов при произвольных постоянных подобия то уравнение состояния каждого из этих газов имеет вид

с одной и той же постоянной Этот результат показывает, какие сильные ограничения нужно наложить на уравнение состояния для того, чтобы газ обладал полезными свойствами динамического подобия. Очень удачно, что обычные газы с большей или меньшей точностью удовлетворяют уравнению (36.7).

Для доказательства сформулированного утверждения рассмотрим траекторию некоторой частицы жидкости (мы считаем для простоты, что постоянная подобия Вдоль этой траектории величины постоянны. Так как течение, параметры которого не помечены штрихами, считается заданным заранее, то величина 5 есть фиксированное число; в формулах, выписанных ниже, мы это число для краткости опускаем. Величина является функцией параметров Обратив это соотношение, мы получим

Возвращаясь теперь к уравнению (36.5), мы видим, что

так как изменяется независимо от Второе равенство (36.9) можно записать в виде

последний переход в этой формуле законен в силу независимости левой части от Таким образом,

и, следовательно, Мы видим отсюда, что таким образом, доказательство закончено.

В более сложных случаях, когда нельзя пренебрегать влиянием вязкости, теплопроводности, поля внешних сил, граничных условий и т. д., приведенный выше анализ не исчерпывает перечень необходимых свойств динамически подобного течения. Влияние некоторых из этих факторов будет рассмотрено далее (см. п. 66).

Теория размерностей и динамическое подобие. Некоторые из приведенных выше результатов можно получить простым анализом размерностей. Например, тот факт, - что в соответствующих точках динамически подобных течений величина принимает равные значения, становится очевидным, если заметить, что все члены, входящие в уравнения движения, имеют одинаковую размерность. Имеет место и более общий результат: если предположить, что существуют два динамически подобных течения и что все параметры этих течений единственным образом определяются состоянием течения в некоторой точке то любые безразмерные комбинации параметров течений в соответствующих точках совпадают, так как они являются функциями только от значения числа Маха в точке Доказательство проводится обычными методами теории размерностей. Существенным препятствием применению результатов теории размерностей является, однако, необходимость априорного предположения динамического подобия рассматриваемых течений. С этой точки зрения развитая выше теория динамического подобия представляется более ценной, так как она позволяет получить необходимые и достаточные условия существования динамически подобных течений.

Нельзя отрицать ценности метода анализа размерностей в тех многочисленных случаях, когда динамическое подобие течений не вызывает сомнений. Этот метод позволяет также

получить некоторые результаты в случаях, к которым нельзя применить какие-либо другие методы исследования; но рассуждения теории размерностей при этом было бы желательно подтвердить, насколько это возможно, исследованием полных уравнений движения.