2. Векторы и тензоры.

В этой статье употребляются традиционные обозначения векторного анализа. Применение этих обозначений приводит к предельной краткости изложения и вместе с тем поясняет физический смысл формулы. Мы используем в основном стандартные векторные операции, однако в отдельных случаях возникает необходимость применения выражений, которые могут показаться необычными или двусмысленными. По этой причине удобно определить все операции при помощи компонент вектора; тогда легко выяснить смысл уравнения, переписав его в виде проекций на оси координат. Этот метод имеет еще и то преимущество, что любому уравнению при желании можно сразу дать тензорную интерпретацию.

За немногими исключениями мы будем употреблять полужирные строчные буквы латинского алфавита для обозначения векторов; компоненты векторов с и т. д. в фиксированной ортогональной системе координат будут обозначаться через или где В этих обозначениях скалярное произведение с определяется формулой

согласно общепринятому соглашению, повторяющийся индекс означает суммирование по этому индексу от 1 до 3.

Аналогичным образом векторное произведение с определяется через компоненты этих векторов формулой

где -обычный перестановочный символ. Модуль вектора обозначается соответствующей курсивной строчной буквой т. е.

(следует отметить, что модуль вектора скорости будет обозначаться в отличие от общего правила через а буква будет использована для обозначения одной из компонент скорости).

Символы будут использоваться в их обычном смысле, т. е.

Запятая в этих формулах в соответствии с обычным соглашением обозначает дифференцирование. Другими словами, для произвольной скалярной или векторной функции точки пространства мы имеем, по определению,

При использовании криволинейных систем координат, например в п. 12, определение должно быть видоизменено.

Мы, однако, на этом останавливаться не будем, так как за несколькими исключениями система координат всюду предполагается декартовой.

В этой работе мы часто будем иметь дело с тензорами второго ранга (диадами). Для их обозначения будут употребляться полужирные прописные буквы Компоненты тензора 2 будут обозначаться через или, когда это удобнее, через Под равенствами

мы понимаем соответственно

Наконец, символ обозначает скалярное произведение

Удобны некоторые специальные обозначения. Под мы понимаем вектор с компонентами . Символ обозначает тензор с компонентами

Наконец, под мы понимаем вектор с компонентами Из этих определений следует, что

Читатель, знакомый с тензорным анализом, заметит, что если рассматривать символ как сокращенное обозначение совокупности контравариантных или ковариантных компонент вектора в произвольной криволинейной системе координат, как сокращенное обозначение совокупности компонент тензора, то приведенные выше определения инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат. Таким образом, введенную нами векторную символику можно в равной мере считать и сокращенным обозначением операций тензорного анализа.

Общую формулу преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности можно записать в следующем символическом виде

Формула справедлива для скалярной, векторной или тензорной функции при фиксированном индексе допускается также суммирование по этому индексу. Функция предполагается здесь непрерывно дифференцируемой в рассматриваемом объеме ограниченном достаточно гладкой поверхностью 8; через обозначены компоненты внешней нормали к 8. Заменяя на получаем так называемую теорему о дивергенции (теорему Гаусса — Остроградского):

Замена на приводит к равенству

Формулы такого рода будут часто применяться в этой работе.

Перечень часто встречающихся обозначений

(см. скан)

(см. скан)