59. Постулаты Стокса.

Джордж Стокс в своей замечательной работе, опубликованной им в возрасте 26 лет, дал

следующее определение понятию жидкости: "Разность между давлением в движущейся жидкости на плоскость, проведенную в точке в любом заданном направлении, и одинаковым для всех направлений давлением, которое существовало бы, если бы жидкость в окрестности точки находилась в состоянии относительного равновесия, зависит только от относительного движения жидкости в непосредственной близости от точки на величину упомянутого выше давления не оказывает влияния относительное движение, вызванное вращением жидкости." Несмотря на кажущуюся расплывчатость этого определения, в нем отражена сущность понятия жидкости. Работая с этим определением, Стоке формулирует свои идеи более четко. В частности, их можно выразить следующей системой постулатов.

1. Тензор является непрерывной функцией тензора деформации и не зависит от других кинематических переменных.

2. Тензор не зависит явно от положения точки в пространстве (однородность по пространственным переменным).

3. В пространстве нет исключительных направлений (изотропность).

4. При тензор определяется соотношением

Конечно, возможны (а в некоторых случаях и желательны) другие системы постулатов, но для исследований, излагаемых в данной статье, и почти для всех современных приложений гидродинамики вполне достаточно предположений Стокса. Среду, определяющие уравнения которой удовлетворяют сформулированной выше системе постулатов, мы будем называть стоксовой жидкостью.

Математическая формулировка первых двух постулатов дается простым соотношением:

Условие изотропности выражается требованием, чтобы для любой матрицы ортогонального преобразования выполнялось равенство

Это равенство означает, что ни в пространстве, ни в среде не существует исключительных направлений, или, иначе говоря, что заданная деформация независимо от ее ориентации вызывает одни и те же напряжения. Точнее, равенство (59.2) означает инвариантность соотношения (59.1) относительно всех ортогональных преобразований системы координат.

Тензор очевидно, должен зависеть от термодинамического состояния жидкости; эта зависимость не была оговорена выше по той причине, что в данный момент нас интересует лишь зависимость от тензора деформаций

Мы покажем сейчас, что выписанная выше система постулатов приводит к простой формуле для тензора напряжений, а именно к формуле

где скалярные функции главных инвариантов тензора т. е.

Замечание. Главные инварианты можно определить как коэффициенты при разложении определителя по степеням X:

Из определения вытекает, в частности, что Характеристические числа матрицы являются корнями уравнения в силу симметричности матрицы являются действительными числами. Ясно, что характеристические числа матрицы являются функциями ее главных инвариантов.

Фиксируя функции и мы получаем жидкость с определенным характером вязких напряжений. Например, если мы выберем функции так, чтобы зависимость от была линейной, то придем к классическому закону вязкости Коши — Пуассона. Ниже (см. п. 65) будет разобрано несколько примеров, в которых зависимость (59.3) имеет нелинейный характер.

Доказательство формулы (59.3). Покажем сначала, что главные направления тензора совпадают с главными направлениями тензора или, иначе говоря, что любое ортогональное преобразование, приводящее матрицу к диагональному виду, приводит матрицу также к диагональному виду. Действительно, предположим, что матрица приведена к виду

и что матрица преобразовалась при этом в матрицу Тогда из соотношений (59.1) и (59.2) вытекает, что Легко видеть, что ортогональное преобразование координат

не меняет матрицу Следовательно, обращаясь снова к формулам (59.1) и (59.2), получаем

Таким образом, при преобразовании матрица также сохраняет свой прежний вид. Простой подсчет показывает, что в этом случае должны выполняться условия Итак, мы доказали, что матрица имеет диагональную форму, т. е. что

С геометрической точки зрения преобразование можно рассматривать как поворот системы координат на 180°

вокруг оси Уравнение (59.5) показывает, что матрица симметрична относительно этой оси.

Так как матрица является диагональной, характеристические числа являются функциями от т. е.

Предположим сначала, что характеристические числа матрицы различны между собой; тогда мы можем выбрать множители так, что

Действительно, уравнения (59.7) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно Тогда определитель, составленный из коэффициентов этой системы,

и, согласно правилу Крамера,

Аналогичным образом выражаются множители и Эти множители являются непрерывными функциями в свою очередь непрерывно зависят от Следовательно, в случае различных характеристических чисел матрицы множители являются непрерывными функциями этих характеристических чисел.

В качестве следующего шага заметим, что любая перестановка чисел приводит к аналогичной перестановке чисел [это следует из ортогональности указанного преобразования и из соотношения (59.2), в силу которого матрица изменяется так же, как матрица ]. Нетрудно убедиться, пользуясь этим замечанием, что перестановка чисел оставляет без изменения. Таким образом, множители в являются симметричными функциями . Это означает, что зависят только от трех главных

инвариантов: в, II и III (в справедливости этого утверждения легко убедиться, вспомнив, что числа являются корнями многочлена с коэффициентами в, II и III). Таким образом, мы доказали, что в случае различных характеристических чисел матрицы множители являются однозначными непрерывными функциями главных инвариантов Возвращаясь к матричным обозначениям, мы получаем вместо системы (59.7) уравнение

которое в точности совпадает с уравнением (59.3), которое связывает исходные матрицы

Остается доказать справедливость представления (59.3) в случае двух или трех равных характеристических чисел матрицы Переставив равные характеристические числа матрицы нетрудно убедиться, подобно тому, как это было сделано выше, что соответствующие характеристические числа матрицы также совпадают. Из тех же соображений, которые привели к уравнениям (59.7), следует, что в случае двух равных характеристических чисел

а в случае трех равных чисел Так как эти формулы также имеют вид (59.3), доказательство завершено.

Приведенное доказательство не дает гарантии непрерывности и 1 при совпадении характеристических чисел матрицы что оставляет впечатление некоторой незавершенности. Если предположить зависимость трижды непрерывно дифференцируемой, то можно сравнительно просто показать, что указанная непрерывность имеет место. Поскольку этот результат нам в дальнейшем не понадобится, доказательство его будет опущено.

Если к постулатам Стокса добавить условие линейной зависимости компонент матрицы от компонент матрицы то представление (59.3) принимает вид

Этот результат, как выяснится ниже, является следствием общей теоремы, которая будет доказана в п. 60, однако представляет интерес и другое, значительно более простое

доказательство, в основном не связанное с предыдущими рассуждениями.

В силу четвертого постулата Стокса и гипотезы о линейной зависимости от формулы (59.6) должны иметь следующий вид:

Коэффициенты этих выражений не зависят, конечно, от Так как изменению нумерации должно отвечать аналогичное изменение нумерации то циклическая перестановка (2, 3, 1) приводит к условиям

Аналогичным образом, пользуясь перестановкой ), находим Таким образом, мы имеем

и представление (59.9) доказано.

В следующем пункте мы займемся анализом понятия давления жидкости, после чего в заключении раздела о жидкостях, удовлетворяющих постулатам Стокса, будет рассмотрен интересный пример полиномиальной зависимости компонент тензора напряжений от компонент тензора деформаций.