ГЛАВА 6. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Хорошо известные экспериментальные наблюдения показывают, что в течении газа могут существовать поверхности, при переходе через которые величины давления и плотности резко меняются. Доводы физического и математического характера в пользу существования таких поверхностей — скачков, или ударных волн, также хорошо известны и освещены в широком круге работ по газовой динамике. За недостатком места мы этого обоснования не приводим. Данная глава посвящена основным теоретическим результатам исследования задачи об ударных волнах. Будут выведены, в частности, соотношения на ударном фронте, установлены некоторые простые свойства ударных волн и описана их структура.

54. Соотношения на разрыве.

С математической точки зрения ударная волна представляет собой поверхность в области течения, при переходе через которую хотя бы одна из переменных меняется скачком. При выводе соотношений, выполняющихся на ударном фронте, мы будем употреблять индекс 1 для обозначения величин по одну сторону от ударной волны и индекс 2 для обозначения величин по другую ее сторону. (Впоследствии индекс 1 будет относиться к течению перед ударной волной, но в данный момент оба индекса вполне равноправны.) Обозначим через единичный вектор нормали к поверхности направленный в сторону области 2, а через скорость

распространения поверхности в этом направлении. Тогда значения переменных на двух сторонах поверхности связаны следующими соотношениями:

В этих уравнениях величина представляет собой нормальную составляющую скорости течения, отнесенную к движущейся поверхности а квадратные скобки обозначают скачок величины при переходе через поверхность разрыва, т. е.

Первые три соотношения (54.1) выражают соответственно сохранение массы, количества движения и энергии жидкости при переходе через Последнее соотношение является следствием постулата (33.5) относительно изменения энтропии в объеме, движущемся вместе с жидкостью. Обычно выписанные выше уравнения обосновываются при помощи рассуждений, более или менее независимых от постулатов, изложенных в гл. 2 и в гл. 4, так что целесообразно показать

здесь, как выводятся условия на разрыве непосредственно из этих основных постулатов.

Мы будем предполагать в дальнейшем, что поверхность разделяет две области, в каждой из которых течение непрерывно, причем все параметры течения имеют на каждой из сторон 2 вполне определенные пределы. Будет предполагаться также, что эти пределы по крайней мере для одной из переменных не совпадают. Рассмотрим объем 23, движущийся вместе с жидкостью и такой, что 2 разбивает 23 на две части. В силу уравнения (5.2) имеем, что

По аналогии с рассуждениями, проведенными в гл. хотелось бы для преобразования левой части соотношений (54.2) воспользоваться формулой (4.1). Однако при переходе через 2 возможны разрывы как плотности, так и скорости, и поэтому формула (4.1) должна быть модифицирована и записана в следующем виде:

В последнем члене этого уравнения, которое легко можно получить из уравнения (4.2), интегрирование ведется по той части поверхности 2, которая лежит внутри объема 23. Воспользовавшись уравнением неразрывности, мы получаем из уравнений (54.2) и (54.3) следующее условие:

Для доказательства первого соотношения (54.1) достаточно воспользоваться теперь произвольностью площадки У, по которой производится интегрирование. Остальные

соотношения (54.1) проверяются аналогично при помощи уравнений (6.1), (33.3) и (33.5); при этом предполагается, конечно, что теоретической точки зрения представляет интерес изучение соотношений на ударном фронте в вязкой жидкости. Это изучение приводит к ряду глубоких результатов, однако в настоящее время неизвестны экспериментальные факты, объяснение которых потребовало бы привлечения теории ударных волн в вязкбй жидкости.)

В оставшейся части этого пункта мы изложим некоторые элементарные следствия соотношений на ударном фронте. Удобно рассматривать отдельно два возможных случая:

В первом случае поверхность разрыва не является ударной волной в строгом значении этого слова, так как частицы газа не пересекают этой поверхности, которая просто движется вместе с газом и разделяет две зоны с различной плотностью и температурой. При этом давление и нормальная составляющая скорости имеют одни и те же значения по обе стороны от Этого простого и сравнительно неинтересного случая мы в дальнейшем касаться не будем. Во втором

случае мы имеем дело с ударной волной. Без ограничения общности можно считать, что

в противном случае мы могли бы поменять местами стороны 1 и 2 (иначе говоря, изменить направление нормали на противоположное). Геометрический смысл условия (54.4) заключается в том, что жидкость входит через сторону 1 и выходит через сторону 2 поверхности ударной волны.

Теперь, обозначив через доставляющую вектора скорости лежащую в касательной плоскости поверхности и приняв во внимание положительность мы можем записать соотношения (54.1) в более симметричном виде, а именно так:

где удельная энтальпия. В установившемся движении фронт ударной волны покоится и из третьего и четвертого соотношений (54.5) следует, что

Следовательно, уравнение Бернулли для установившегося течения справедливо даже в том случае, когда в течении существуют ударные волны.

Представляет интерес выделение из системы (54.5) соотношений между термодинамическими переменными, в которые другие переменные не входят. Рассмотрим с этой целью поток массы через поверхность ударной волны:

Тогда из первого и второго соотношений (54.5) следует, что

здесь через х обозначен объем единичной массы. Из первого, второго и третьего равенств, содержащихся в формуле (54.7), следуют соответственно соотношения

Наконец, из формул (54.8) и (54.5) получаем, что

Эта важная формула была впервые получена Гюгонио, однако для случая совершенного газа она была известна еще Ренкину. При заданном начальном состоянии соотношение (54.11) определяет все возможные термодинамические состояния которые могут возникнуть при переходе через ударный фронт. Эквивалентом условия (54.11) является соотношение

Важным свойством ударных волн является то, что они могут вносить завихренность в первоначально безвихревое течение. Обычно это свойство связывают с возможностью возрастания энтропии при условии, что энергия (точнее, энтальпия торможения при переходе через фронт ударной волны не меняется. Такие рассуждения применимы только в случае установившегося движения, однако в ряде появившихся недавно работ этот результат был обобщен на неустановившиеся движения.

Следует отметить интересную простую формулу, определяющую завихренность за фронтом ударной волны в случае, когда поток перед волной является равномерным; для установившегося течения эта формула имеет следующий вид:

здесь поверхностный градиент и Доказательство этой формулы довольно громоздко, поэтому мы ограничимся тем, что укажем некоторые следствия, вытекающие из равенства (54.12). Очевидно, во-первых, что вектор направлен по касательной к поверхности разрыва. Заметим также, что для плоского или осесимметричного течения формула (54.12) принимает более простой вид:

где К — кривизна линии разрыва, касательная составляющая скорости. Из формулы (54.13) следует, что завихренность за фронтом будет отлична от нуля в тех точках линии разрыва, в которых кривизна и угол между касательной к линии разрыва и направлением скорости набегающего потока не равен Заметим, наконец, что величина завихренности имеет по отношению к интенсивности ударной волны второй порядок малости, в то время как изменение энтропии является величиной третьего порядка.

Изучение свойств ударного перехода в течении произвольной идеальной жидкости будет продолжено в п. 56. В частности, будет показано, что скачок энтропии при переходе через ударный фронт имеет по третий порядок малости. Таким образом, рассматривая последовательность ударных волн, интенсивность которых стремится к нулю, мы имеем в пределе

Иначе говоря, скорость распространения скачка бесконечно малой интенсивности относительно жидкости в пределе равна скорости звука. Этот результат еще раз показывает правильность введенного ранее определения скорости звука с.