29. Преобразования Вебера и Клебша.

В заключение этой главы мы опишем два известных преобразования уравнений движения в случае баротропного течения идеальной жидкости. Эти преобразования применяются сравнительно редко, но представляется интересным записать их в более удобном виде, чем тот, в котором они обычно употребляются, и сделать их, таким образом, более доступными для читателя.

Мы начнем с вывода преобразования Вебера и рассмотрим с этой целью очевидное тождество

[Отметим аналогию с формулой Лагранжа Пользуясь этим соотношением, мы получаем из формулы (16.5) для ускорения, что

Проинтегрировав последнее уравнение от до и положив

мы получим уравнение

где поле скоростей Уравнение (29.1), которое называется уравнением (или преобразованием) Вебера !), можно рассматривать как видоизмененную форму уравнений движения в переменных Лагранжа.

Используя преобразование Вебера, сравнительно легко получить преобразование Клебша. Заметим сначала, что поле скоростей всегда можно (по крайней мере, локально) представить (см. [48], § 49) в виде

Но тогда следовательно, поверхности являются вихревыми поверхностями. Как было установлено, вихревые поверхности перемещаются вместе с жидкостью, поэтому естественно попытаться в представлении (29.2) подобрать так. чтобы

Докажем, что это действительно возможно.

Представим с этой целью начальное поле скоростей в виде (29.2), т. е. положим

Здесь функции зависят только от Подставив это выражение для в уравнение (29.1) и умножив обе части уравнения на мы получим

или

где а функции удовлетворяют уравнениям (29.3).

Клебш показал, что в случае, когда поле скоростей представлено в виде (29.2) и выполнены условия (29.3), уравнение движения (16.5) допускает интегрирование. Действительно, исходя из тождества (15.8), легко показать, что

Сравнив полученные выражения с формулой (16.5), мы получаем, что

несущественная функция времени включена здесь в Уравнение Клебша (29.4) можно рассматривать как одно из уравнений Бернулли, однако в отличие от рассмотренных выше форм этого уравнения соотношение (29.4) не зависит ни от предположения о потенциальности течения, ни от предположения о его стационарности. Заметим, наконец, что уравнения (29.3) и (29.4) образуют систему трех уравнений относительно неизвестных определяется из уравнения (29.2), а давление является известной функцией в силу баротропности течения. В качестве четвертого уравнения следует взять уравнение неразрывности.

Кажущаяся простота преобразования Клебша является частично обманчивой, так как даже в установившемся движении функции будут, вообще говоря, зависеть от времени.

Если функции не удовлетворяют условиям (29.3), то вместо уравнения (29.4) мы получим уравнение вида

где

Следовательно, и

эти уравнения по форме напоминают канонические уравнения Гамильтона. В случае преобразования Клебша мы имеем, в частности, и Предположим теперь, что движение установившееся и что функции

удовлетворяют не условиям (29.3), а условиям

тогда не зависит явно от следовательно,

Здесь уместно заметить, что так же доказывается общеизвестный принцип сохранения энергии в динамике Гамильтона. Уравнение (29.7) эквивалентно, очевидно, уравнению Бернулли (см. п. 17). В основе удивительной аналогии между каноническими уравнениями Гамильтона и уравнениями Клебша лежат, по-видимому, вариационные принципы, установленные в п. 15.