55. Соотношения на разрыве в случае совершенного газа.

Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями

Это позволяет записать соотношение Гюгонио в более удобной форме:

Соотношение (55.1) при заданном начальном состоянии определяет все возможные термодинамические состояния которые могут возникнуть при переходе через поверхность ударной волны. Легко видеть, что совокупность конечных состояний в плоскости образует равнобочную гиперболу с асимптотами

Рис. 12. Кривая Гюгонио и адиабата для На рисунке изображены также асимптоты кривой Гюгонио.

Эта кривая называется кривой Гюгонио. Условие выделяет ту часть гиперболы, которая лежит выше точки следовательно,

или

таким образом, величина скачка плотности при переходе через ударную волну ограничена сверху. На рис. 12 показаны адиабата и кривая Гюгонио, проходящие через точку

в точке эти кривые имеют касание второго порядка.

Если заданы состояние жидкости перед фронтом ударной волны и величина скорости распространения разрыва то состояние за фронтом определяется полностью. В частности, вводя - "относительные числа Маха"

мы в случае совершенного газа получаем

Достаточно доказать первое и этих соотношений, после этого все остальные проверяются просто. В силу равенств (54.9) и (54.6)

нетрудно убедиться в том, что, исключив из этого уравнения величину при помощи уравнения (55.1), мы получим первое из соотношений (55.2).

Приращение энтропии при переходе через ударный фронт определяется формулой

Несколько в другом виде можно записать это соотношение в случае установившегося движения. Из уравнения (54.5а) следует, что энтальпия торможения перед фронтом ударной волны такова же, как и за ее фронтом, а это в свою очередь означает равенство температур торможения перед фронтом ударной волны и за ее фронтом. Принимая во внимание, что

этропия постоянна вдоль линий тока, мы получаем отсюда соотношение

где величины с индексом относятся к покоящейся жидкости. Учитывая соотношение (55.5), мы можем записать теперь формулу (55.4) в следующем виде:

В силу условия (54.5а) и формулы критическая скорость и критическая энтальпия также не меняются при переходе через ударный фронт. Поэтому приведенные выше рассуждения служат одновременно доказательством следующей цепочки равенств, которая часто оказывается полезной:

Величина этого отношения приведена в последнем столбце табл. 1 (см. п. 37).

Наконец, так как число Маха должно быть больше единицы [см. второе уравнение (55.2)]. Это означает, что т. е. что относительная нормальная скорость потока перед фронтом ударной волны больше скорости звука. С другой стороны, следовательно, относительная нормальная скорость за ударным фронтом меньше скорости звука. Как будет показано в следующем пункте, эти свойства ударного фронта сохраняются и в случае движения произвольного газа. Для установившегося потока из первого уравнения (55.2) и уравнения Бернулли следует, что

Эта интересная формула была впервые получена Прандтлем. Если поверхность разрыва ортогональна направлению потока, то формула Прандтля сводится к простому соотношению: