§ 113. ДВИЖЕНИЕ СО СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

Превышение звуковой скорости в газовых средах приводит к ряду явлений, оказывающих значительное влияние на движение самолетов, ракет и артиллерийских снарядов, лопастей паровых и газовых турбин.

Малые возмущения давления и плотности распространяются в упругих средах в виде волн сжатий и разрежений со звуковой скоростью, при этом процесс является адиабатическим. Скорость распространения звука в газах определяется формулой

Отношение скорости движения тела в среде к скорости звука в этой среде называется числом Маха:

Для сверхзвуковых движений

На рисунке 11.7, а схематически показано распространение звука в однородной среде от неподвижного точечного источника возмущений. На рисунке 11.7, б изображен тот же процесс, но при движущемся точечном источнике звука, когда (источник возмущений, перемещаясь от в 1, порождает сферические звуковые волны, которые обгоняют его).

Если точка движется в воздухе со скоростью, большей скорости звука, то возмущения, вызываемые ею, будут отставать от нее, оставаясь внутри так называемого конуса возмущений 1,2,3 (рис. 11.7, в) угол которого (между осью и образующей) называют углом Маха.

Рис. 11.7.

Когда точка за время переместится из в 1 на расстояние звуковая волна распространится на расстояние Стало быть,

При движениях тел конечных размеров со сверхзвуковыми (гиперзвуковыми) скоростями (или при их обтекании сверхзвуковыми потоками) в среде возникают так называемые ударные волны, которые могут быть также возбуждены мощными взрывами и электрическими разрядами. В газах толщина фронта ударной волны порядка длины свободного пробега молекул. На таких чрезвычайно малых расстояниях имеет место скачкообразное изменение плотности и всех других термодинамических параметров среды. Скачок плотности и других параметров можно рассматривать как предельный случай очень больших градиентов, когда толщина слоя, в котором происходят изменения, делается чрезвычайно малой.

Скачки уплотнения подразделяются на прямые и косые. Прямые скачки возникают при встрече сверхзвукового потока под углом 90° с плоскими или закругленными поверхностями, в других случаях возникают косые скачки. Скачкообразные изменения плотности могут быть столь значительными, что области их проявления можно фотографировать. На рисунке 11.8, а представлена теневая фотография сверхзвукового течения около прямого кругового цилиндра, движущегося в воздухе в направлении своей оси. Сплошные темные полосы изображают скачки уплотнения: возникший перед цилиндром плоский скачок по мере отхода в сторону вырождается в косой. Ударная волна, идущая от боков цилиндра, является следствием вторичного сжатия, которое следует за расширением потока после обтекания тела; сзади цилиндра просматривается кормовой след с сильно развитой турбулентностью.

На рисунке 11.8, б приведена картина сверхзвукового обтекания тонкого заостренного тела с раструбом в хвостовой части.

Скачок уплотнения распространяется со сверхзвуковой скоростью, тем большей, чем больше интенсивность скачка (повышение давления в нем), при стремлении перепада давлений к нулю скорость перемещения скачка стремится к скорости звука.

Рис. 11.8.

Рис. 11.9.

Рассмотрим пример образования плоской ударной волны в газовой среде при ее сжатии поршнем (рис. 11.9, а). Если поршень сначала вдвигать с небольшой скоростью и постепенно ускорять его, то ударная волна образуется не сразу, вначале будет распространяться фронт сжатия акустической волны с непрерывным распределением плотности и давления. С течением же времени крутизна спада плотности на переднем фронте волны будет увеличиваться, так как возмущение от ускоренно движущегося поршня догоняет и усиливает его, вследствие чего при достижении поршнем сверхзвуковых скоростей возникает ударная волна. Если сверхзвуковая скорость поршня то фронт ударной волны 1 перемещается со скоростью последний является поверхностью разрыва термодинамических параметров: в невозмущенной среде параметры будут позади фронта На рисунке 11.9, б схематически показано изменение плотности газа при прохождении фронта ударной волны.

Рассмотрим изменение свойств газа относительно системы координат, движущейся вместе со скачком (рис. 11.9, б). В такой системе отсчета невозмущенная среда перемещается навстречу фронту волны со сверхзвуковой скоростью за фронтом волны в сжатой среде появится дозвуковая скорость перемещения Для описания изменений свойств вещества в выбранной системе отсчета используем законы сохранения массы, импульса и энергии.

Плотности потока массы (потока в единицу времени через единицу площади) с двух сторон фронта ударной волны должны быть одинаковыми. В выбранной системе координат можно записать:

Втекающая через единицу площади в единицу времени масса обладает импульсом С другой стороны фронта плотность потока импульса равна Разность этих величин (без учета вязкости) определяет скачок давления по обе стороны ударной волны:

или

Приняв газ идеальным, запишем закон сохранения энергии для рассматриваемого случая. Он выражается равенством удельных обобщенных энергий по обе стороны фронта ударной волны:

Используя выражения запишем систему трех уравнений:

Исключая из двух последних уравнений с помощью первого уравнения, найдем:

Исключая из этих уравнений получим формулу Гюгонио:

Эта формула не содержит критерия, указывающего на возможность образования скачка в сверхзвуковом потоке, она лишь устанавливает значение параметров потока за скачком по их значениям перед скачком в предположении, что скачок имеет место.

Учитывая, что из (113.7) получим:

Таким образом, ударная адиабата, или адиабата Гюгонио, отличается от адиабаты Пуассона, для которой

На рисунке 11.10 изображена ударная адиабата и адиабата Пуассона П, проходящие через общую точку А начального состояния. При ударном сжатии газа его энтропия увеличивается и давление повышается значительнее по сравнению с повышением давления при равновесном адиабатическом

Рис. 11.10.

сжатии, что является следствием превращения во внутреннюю энергию части кинетической энергии набегающего потока (потока невозмущенной среды).

Сжатие газа в ударной волне в зависимости от числа определяется выражением

В пределе для сильных ударных волн сжатие равно:

Таким образом, в ударной волне сжатие идеального газа не может быть более (113.11). Для одноатомного газа предельное сжатие должно быть 4; для двухатомных газов предельное сжатие не может превышать 6.

Приведенные выше соотношения позволяют сделать лишь качественные оценки поведения газа в ударной волне. В реальных газах при высоких температурах обнаруживается зависимость теплоемкости от температуры и проявляется диссоциация молекул; расчет скачка параметров в ударной волне делается более сложным.

Выше рассматривались соотношения для изменения параметров идеального газа в прямом скачке. В косом скачке, кроме испытывает разрыв только нормальная составляющая скорости, а тангенциальная составляющая непрерывна.

На рисунке 11.11, а изображен косой скачок уплотнения, образующийся при обтекании сверхзвуковым потоком клина. При этом интенсивность ударной волны будет связана не со скоростью набегающего потока, а с ее нормальной составляющей к поверхности скачка чем и объясняется уменьшение интенсивности косых скачков по сравнению с прямыми.

При движении тел в воздухе со сверхзвуковыми скоростями скачки уплотнения вызывают сопротивление, которое в отличие от сопротивлений при малых скоростях пропорционально квадрату

Рис. 11.11.

скорости перемещения. Для уменьшения сопротивления крыльев, связанного с образованием ударных волн, при небольших сверхзвуковых скоростях пользуются стреловидными (рис. 11.11, б) и треугольными крыльями, передняя кромка которых образует острый угол с направлением скорости набегающего потока. Сопротивление такого крыла делается минимальным, когда угол скольжения (5 крыла достигает такой величины, что нормальная составляющая скорости станет дозвуковой.

Движения при больших числах обнаруживают свои качественные особенности. В этих случаях давление в набегающем потоке становится пренебрежительно малым сравнительно с давлением в области течения за ударной волной, возникающей перед телом, а энтальпией набегающего потока можно пренебречь по сравнению с его кинетической энергией. При таких условиях течение за ударной волной перестает зависеть от числа набегающего потока — наступает стабилизация течения. Форма передней части космических ракет делается тупой, так как стабилизация течения около тупых тел наступает при меньших значениях чем около заостренных.