§ 35. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В ПОЛВ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Запишем формулу Больцмана (29.2) для распределения частиц по энергиям:

где число частиц в интервале энергий от до — постоянная величина. Выделим два энергетических уровня на которых соответственно находятся Из отношения найдем:

Используем (35.2) для рассмотрения распределения молекул изотермической системы в поле силы тяжести. В этом случае —потенциальная энергия молекулы. Принимая, что поле силы тяжести однородно (ускорение свободного падения в рассматриваемом диапазоне высот — постоянная величина), можно записать: и Для рассматриваемого случая (35.2) принимает вид

Как указывалось ранее (§ 29), формулу Больцмана можно применять для рассмотрения таких задач, в которых попадания молекул на те или иные энергетические уровни не зависят от заполнения уровней. Возвращаясь к нашей задаче, отметим, что в числа молекул, находящихся на высотах Но эти молекулы должны находиться в определенных объемах. Представим себе, что исследуемая система, две небольшие части которой связаны соотношением (35.3), является вертикальным столбом газа, заполняющего бесконечный цилиндр с сечением основание которого находится на Земле (рис. 3.17). Во всем цилиндре заключено молекул, из них находятся в объеме на высоте расположены в другом объеме на высоте Вероятности попадания молекул на энергетические уровни и зависят не только от их значений, но и от величин объемов Пусть эти объемы одинаковы: Казалось бы, что теперь мы приблизились к решению задачи. Но мы упустили одно существенное обстоятельство: когда одна из молекул попала, например,

Рис. 3.17.

в объем то она из-за конечности своих размеров занимает часть этого объема и другая молекула уже не может попасть на занятое место. Следовательно, вероятность попадания молекул в выделенные равные объемы в реальных случаях зависит от их заполнений. (Заметим, что такая трудность не встречалась при рассмотрении распределений молекул по скоростям; для этой задачи геометрия расположения молекул не связана с вероятностью распределения по кинетическим энергиям.)

Возникла следующая ситуация: мы написали соотношение (35.3) и не можем пока сказать, как его применять для рассмотрения распределения молекул реальных систем в поле силы тяжести. Оставим тогда реальные системы, например плотные газы, и перейдем к идеальным газам, молекулы которых имеют пренебрежимо малые размеры. Очевидно, в этом случае при можно утверждать, что вероятность попадания точечных частиц в равные объемы не зависит от их заполнения другими частицами.

Из изложенного следует, что формулу (35.3) можно использовать для описания распределения молекул в изотермической атмосфере, образованной идеальным газом, на основе сравнения числа частиц в одинаковых элементарных объемах, расположенных на разных высотах. Деля (35.3) на и определяя число частиц в равных объемах запишем:

Для случая имеем:

Здесь число молекул в единичном объеме у поверхности Земли, на высоте Последние формулы определяют распределение молекул идеального газа по высоте в однородном поле тяготения.

Умножив (35.5) на и учтя, что найдем распределение давления по высоте в изотермической атмосфере в предположении об однородности поля тяготения:

Эта формула (барометрическая формула 11.5) ранее была получена из условия механического равновесия изотермической атмосферы.