§ 28. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В практике очень часто приходится встречаться с так называемыми случайными событиями, которые при данных условиях могут произойти, а могут и не произойти. Понятие о случайности события равнозначно представлению о его возможности.

Для примера рассмотрим результаты бросаний игральной кости кубика с нумерованными гранями 1,2,3,4,5 и 6 — на горизонтальную поверхность. Под событием здесь следует понимать появление сверху той или иной нумерованной грани. Ход события от начала броска до выпадания определенной грани вполне определен: он обусловлен положением граней при броске, направлением начального импульса и др. Но так как эти величины могут быть различными и неконтролируемыми в эксперименте, то заранее нельзя предсказать результаты бросаний (появлений той или иной грани сверху). В то же время, если произвести большое число бросаний, окажется, что примерно всех бросаний приведет к появлению Сверху одной из шести граней. И чем больше бросаний тем число выпаданий любой фиксированной грани будет ближе к

Частота появления тех или иных случайных событий характеризуется их вероятностью: вероятность ожидаемого события определяется пределом отношения числа появлений этого события к общему числу всех событий когда последнее неограниченно возрастает:

В приведенном выше примере вероятность (возможность) появления любой из шести граней сверху равна

Рис. 3.5.

Рассмотрим другой пример. Пусть из точки А обстреливают диск В с отверстиями (рис. 3.5), при этом каждая из пуль попадает в диск, но из-за различия в начальных условиях (возможны различные начальные скорости пуль) нельзя предугадать в каждом из отдельных опытов, произойдет ли попадание в одно из отверстий диска. Вероятность же попаданий в отверстия согласно (28.1) будет вполне определенной (в рассматриваемом примере число попаданий в отверстия) и равна отношению площади всех отверстий к площади диска:

В обоих приведенных примерах вероятность рассмотренных событий определяется и без проведения большого числа опытов. В самом деле, в случае бросания кубика можно утверждать, что нет каких-либо преимуществ в выпадании любой из граней, поэтому вероятность появления сверху каждой из шести граней равна Во втором случае можно утверждать, что нет каких-либо преимуществ в попадании пули в то или иное место диска. Все части диска для пули одинаково доступны, именно поэтому вероятность попадания пуль в отверстия определяется отношением указанных выше площадей.

Таким образом, могут быть ситуации, когда для установления вероятности тех или иных событий достаточным оказывается анализ некоторых их особенностей. Приведем еще пример (очень важный для теории газообразного состояния вещества). Пусть в достаточно большом сосуде объемом V движется одна молекула и необходимо определить вероятность ее попадания в объему, который является частью объема Если мы весь объем разделим на равных частей, то через любые достаточно большие промежутки времени (через промежутки времени, достаточные для нескольких отражений молекулы от стенок сосуда) молекула может оказаться с одинаковой вероятностью в любой из у ячеек, так как нет преимуществ ее попадания в какую-либо часть объема V? На основании изложенного можно утверждать, что вероятность нахождения молекулы в выбранной части объема равна отношению

Из определения вероятности (28.1) следует, что так как Таким образом, вероятность есть безразмерная величина, она не бывает отрицательной и не может быть больше единицы. Если то это значит, что любое событие дает ожидаемый результат (достоверное событие). Если то ожидаемое событие не реализуется. Если вероятность интересующего нас

события то при осуществлении событий число ожидаемых событий может составить При этом число фиксируемых ожидаемых событии окажется тем ближе к чем больше значение Так, в примере с кубиком при бросаниях есть ожидаемое число появлений одной из шести граней. В примере с диском при выстрелах даст ожидаемое число попаданий в отверстия. В последнем примере имеет смысл числа фиксаций молекулы в различных частях объема сосуда, при этом даст возможное число фиксаций молекулы в выбранной части объема сосуда.

Пусть случайные события не могут происходить одновременно (несовместимые события). Тогда вероятность появления одного из двух несовместимых событий (А или В) равна сумме вероятностей каждого из этих событий (закон сложения вероятностей):

Так, при метании игральной кости вероятность выпадания метки 1 или метки 2 равна сумме вероятностей выпадания каждой из них: Закон сложения вероятностей распространяется на любое число несовместимых событий. В общем случае вероятность появления одного из X несовместимых событий равна:

Последнее выражение можно проиллюстрировать при помощи устройства, называемого доской Гальтона (рис. 3.6), Устройство состоит из двух плоских прозрачных стенок из плексигласа, между которыми в их верхней части находится большое число шпилек (гвоздей). В нижней части доски Гальтона расположено определенное число одинаковых вертикальных камер, открытых сверху. Если в устройство через отверстие А бросить дробинку, то из-за столкновений ее со шпильками, носящих случайный характер, нельзя предсказать, в какую камеру она попадет. Если последовательно бросить большое число дробинок, то их распределение по камерам будет подчинено определенной закономерности: дробинок будет больше в тех камерах, которые ближе к середине прибора (вероятность попадания в эти камеры больше). Если число всех дробинок, то где число дробинок в первой камере (например, в первой

Рис. 1.20.

камере слева), во второй и т. д. до камеры Деля на это выражение, получим:

При большом числе отношение согласно (28.1) достаточно точно определяет вероятность попадания дробинок в первую камеру, во вторую и т. д. Соотношением (28.4) описывается полная система случайных событий, приводящих к определенному распределению дробинок по камерам.

Среди случайных событий особое место занимают статистически независимые события. В природе явления взаимосвязаны, но часто связи между событиями столь отдалены и ослаблены, что наступление одного явления оказывается практически независимым от наступления или ненаступления другого.

Статистически независимые события могут совпадать по времени. Сложное событие — это такое, которое обусловлено проявлением нескольких простых (статистически независимых) событий. Вероятность сложного события равна произведению вероятностей независимых событий, через которые оно реализуется (закон умножения вероятностей). Например, для сложного события, обусловленного совпадением двух простых событий справедливо

Так, при метании двух игральных костей с мечеными гранями вероятность выпадания, например, грани с номером 1 для каждого из кубиков равна Вероятность же одновременного появления этой грани на обоих кубиках равна Если следить за одновременным выпаданием граней с разными номерами на двух кубиках, например граней 1 и 2, и при этом условиться о том, что безразлично, на каком из кубиков появится один из двух номеров, то вероятность такого рода ожидаемых событий будет в два раза больше вероятности появления граней с одинаковыми номерами, в чем легко могут убедиться сами читатели, если правильно используют соотношение (28.5).

Для иллюстрации (28.5) рассмотрим вероятность одновременного пребывания двух молекул в элементе объема являющемся частью объема газа Вероятности простых событий, через которые реализуется анализируемое сложное событие, одинаковы и равны: Искомая вероятность определится произведением:

В термодинамических системах всегда имеется большое число молекул (порядка и более), координаты и скорости которых

меняются вследствие многочисленных неконтролируемых взаимодействий (столкновений) частиц. Соответственно в любой фиксированный момент времени значение скорости отдельно взятой частицы будет случайной величиной. Задача статистической физики заключается в раскрытии статистических закономерностей, характеризующих совокупность случайных значений молекулярных параметров (микроскопическое состояние системы), и в установлении связи между микросостояниями системы и ее макроскопическим состоянием.