§ 47. ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ В ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗАХ

Для описания внутреннего трения в идеальных газах, исходя из уравнения переноса (45.2):

следует определить вид аналитического выражения плотности микропотока

Внутреннее трение возникает при наличии в средах градиентов скорости направленного движения. В газах скорость направленного движения необходимо приписывать не отдельным молекулам, а элементарным объемам среды (§ 43), при этом молекулы одновременно будут участвовать как в направленном, так и в тепловом движении (направленное движение накладывается на тепловое). Пусть имеется градиент скорости направленного движения по оси х (рис. 4.3). Тогда молекулы газа, перемещаясь по оси х (вследствие теплового движения), будут переносить с собой как импульс, так и энергию механического движения. В § 41 отмечалось, что процесс внутреннего трения можно рассматривать как передачу механической энергии в сторону убыли скорости, что связано с диссипацией (рассеянием) механической энергии при трении. Исходя из такой трактовки внутреннего трения, обусловливающий его микропоток следует определить выражением

где энергия направленного движения, приходящаяся на одну молекулу. Величину число молекул, проходящих через единицу площади за единицу времени, определим из следующих соображений. Перенос энергии, как указывалось выше, связан с переносом импульса, но для описания переноса импульса необходимо пользоваться средней квадратичной скоростью теплового движения молекул (§ 33). Пользуясь (33.3): перепишем

где плотность среды, - средняя квадратичная скорость молекул, перенос молекулами энергии направленного движения через единицу площади за единицу времени. Из (47.1) и (47.3) найдем:

При постоянных плотности и температуре последнее выражение принимает вид

Плотность такого рода макропотока ранее определялась через коэффициент вязкости :

Из сравнения последних двух выражений вытекает, что для идеального газа

Эта формула впервые была получена Максвеллом (1859 г.).

Записав предварительно выражение для средней длины свободного пробега молекул (43.3):

исследуем соотношение (47.7). Так как то коэффициент вязкости газов (47.7) при постоянной температуре не должен зависеть от плотности (давления) среды. Этот результат сам Максвелл назвал «крайне поразительным». Как показали экспериментальные исследования, коэффициент вязкости действительно в довольно широких пределах изменения плотности газов остается практически постоянным. Но как при очень низких, так и при очень больших давлениях наблюдаются отклонения от такого рода закономерности. Оказывается, формула (47.7) применима при понижении давления до тех пор, пока длина свободного пробега молекул остается меньше линейных размеров сосуда, в котором исследуется вязкость газов. При больших же давлениях, когда заметная часть молекул начнет участвовать в столкновениях высших порядков (столкновения с участием больше двух молекул), коэффициент вязкости газов становится большим, чем это следует из (47.7).

Согласно (47.7) коэффициент вязкости должен расти с температурой пропорционально В действительности зависимость от оказалась более значительной. Это объясняется тем, что длина свободного пробега (47.8) определяется не только плотностью газа, но и эффективным диаметром молекул, который, как указывалось ранее, уменьшается с повышением температуры.

Вводя среднее время свободного пробега молекул и используя равенство выражение (47.7) легко представить в форме

Последнее соотношение также было введено Максвеллом. Оно удобно для определения

Используя выражения из (47.7) и (47.8) легко получить:

Это соотношение позволяет заключить, что что подтверждается экспериментом.

Зная коэффициент вязкости, на основе (47.10) легко найти эффективный диаметр молекул. В настоящее время это наиболее точный способ определения так называемого газокинетического диаметра частиц.