§ 43. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, испытывают частые столкновения друг с другом. Среднее расстояние, на которое сближаются центры масс молекул при их парных столкновениях, называется эффективным диаметром молекулы (рис. 4.4, а). Как указывалось ранее (§ 27), такого рода диаметрами можно

Рис. 4.4.

охарактеризовать не только одноатомные молекулы, но и молекулы многоатомных газов из-за наличия у последних вращательного движения. Размеры частиц, которые обнаруживаются в явлениях переноса, называются кинетическими размерами молекул.

Если проследить за движением отдельной молекулы газовой среды, то ее путь представляется ломаной линией, состоящей из прямолинейных участков — длин свободных пробегов. Длина свободного пробега молекулы — путь между двумя ее последовательными столкновениями; эта величина случайная, в отдельных случаях она может быть малой, в других — большой. Введем среднюю длину свободного пробега из следующих соображений. Средний путь молекулы за единицу времени численно равен средней скорости ее теплового движения с. Пусть при этом молекула в среднем за единицу времени испытывает столкновений. Тогда среднюю длину свободного пробега К можно определить отношением

предложенным Максвеллом.

Для упрощения вычисления предположим, что все молекулы имеют одинаковую скорость, равную средней скорости с. Далее, выделим одну из молекул газа и рассмотрим ее соударения с другими молекулами. Угол между скоростями частиц, участвующих в парных столкновениях, может заключаться в пределах от до радиан (ноль соответствует одинаковым направлениям скоростей соударяющихся молекул, - противоположным). Средний же угол между сталкивающимися молекулами равен На рисунке 4.5, а изображена ситуация, предшествующая одному из столкновений ударяющей молекулы 1 с ударяемой 2. Обе молекулы имеют равные скорости: но их направления составляют угол Для удобства дальнейших расчетов введем относительную скорость ударяющей молекулы соти (скорость молекулы относительно молекулы 2): На рисунке показана та же ситуация, которая изображалась на рисунке 4.5, а, но

Рис. 4.5.

относительно системы отсчета, связанной с ударяемой молекулой. При этом

С введением средней относительной скорости ударяющей молекулы все другие частицы можно считать покоящимися. На рисунке 4.4, б показана ударяющая молекула 1 и ее путь за единицу времени (путь относительно ударяемых молекул, принимаемых за систему отсчета), равный отрезку прямой Около этого отрезка, как около оси, построен цилиндр радиусом Легко видеть, что выбранная молекула столкнется со всеми частицами, центры которых находятся в данном цилиндре. Схему столкновений (рис. 4.4, б) можно трактовать и по-другому: приписать ударяющей молекуле удвоенные линейные размеры, остальные же частицы при этом принять за материальные точки (рис. 4.4, в). Площадь сечения такой молекулы называется эффективным сечением соударения. Эффективное сечение соударения — это такая площадь, в которую должен попасть центр частицы, чтобы произошло столкновение данной частицы с ударяющей молекулой. В объем цилиндра длиной и радиусом (рис. 4.4, е) попадает общее число молекул:

с которыми сталкивается ударяющая частица за единицу времени концентрация молекул). Но в общем случае ударяющая частица может участвовать в парных, тройных столкновениях и столкновениях более высокого порядка (одновременно сталкивается более трех молекул). Поэтому, зная по (43.2), еще нельзя сказать, сколько столкновений испытывает ударяющая молекула за единицу времени. И только для достаточно разреженных (идеальных) газов, в которых в основном реализуются парные столкновения, можно утверждать, что формула (43.2) определяет среднее число столкновений одной молекулы со всеми другими за единицу времени.

Из (43.1) и (43.2) следует, что

Эффективный диаметр молекул очень слабо зависит от температуры (с повышением температуры уменьшается). В первом приближении этой зависимостью пренебрегают. Из полученного выражения видно, что средняя длина свободного пробега молекул обратно

пропорциональна концентрации частиц. Используя зависимость перепишем (43.3) в виде

Таким образом, при неизменной температуре длина свободного пробега находится в обратной зависимости от давления. Формула (43.4), если известны диаметры молекул, позволяет вычислить длину свободного пробега молекул в различных газах. Величины эффективных диаметров молекул порядка (сведения о диаметрах молекул можно получить, например, из измерений вязкости газов, о чем речь будет ниже).

Для молекул азота . При нормальных условиях вычисления по (43.4) для азота дают . Такова примерно средняя длина свободного пробега молекул воздуха. Если, далее, давление понизить до , что легко достигается современными вакуумными насосами, длина свободного пробега в рассматриваемом примере станет в раз больше: .

Напомним, что среднее расстояние между молекулами газа при нормальных условиях равно что примерно в 20 раз меньше найденной выше средней длины свободного пробега в азоте (в воздухе).

Число столкновений молекулы с другими молекулами за секунду можно получить согласно (43.1), разделив среднюю скорость молекул с на их среднюю длину свободного пробега К. Сделаем оценку числа столкновений по средней квадратичной скорости с молекул азота. При К для азота Разделив эту величину на см, получим: Таким образом, при нормальных условиях в газе число столкновений одной молекулы составляет несколько миллиардов в секунду.

Выделим в газе элементарный объем в форме кубика с ребром, равным длине свободного пробега молекул. При концентрации молекул их число в выделенном объеме равно:

При нормальных условиях (число Лошмидта). Беря см, получим: В пределах объема содержащего определенное число молекул, рассматриваемая молекула испытает хотя бы одно соударение. Это важный вывод, поскольку такие характеристики системы, как давление и температура, можно относить только к совокупности сталкивающихся между собой молекул. Распределения Максвелла также реализуются лишь благодаря столкновению частиц, соответственно только такие системы можно описать термодинамическими параметрами.

В § 3 было получено уравнение состояния системы, имеющей объем V, причем на величину этого объема не накладывалось

каких-либо ограничений. Теперь делается понятным, что термодинамические характеристики неприменимы к объему газа меньше При рассмотрении свойств газа в рамках термодинамики его объем должен удовлетворять условию

Пусть имеется элементарный объем газа размером Согласно изложенному по отношению к грани этого куба можно говорить о макроскопическом давлении Если объем куба то площадь его грани и для нее уже теряет смысл понятие давления. Отсюда следует, что если в сосуде с газом сделать отверстие больше то под воздействием разности давлений внутри и вне сосуда через отверстие возникнет газодинамическое течение среды. Если же площадь отверстия окажется меньше то реализуется молекулярное течение — молекулы будут вылетать из отверстия только в результате теплового движения, при этом будет отсутствовать сила, порождаемая разностью указанных выше давлений.