§ 30. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО КОМПОНЕНТАМ СКОРОСТЕЙ ИХ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА)

Кинетическая энергия поступательного движения любой молекулы представляется тремя слагаемыми, соответствующими ее движениям относительно трех осей координат:

Это позволяет согласно (29.6) вводить распределения, характеризующие движение молекул по любой из осей х, у или

Рассмотрим распределение по оси х, для этого зафиксируем векторы скоростей молекул в данный момент времени и сведем их начала в точку А (рис. 3.8). Вокруг этой точки образуется пространственный «еж скоростей», «иглы» которого (векторы скоростей) могут быть как малыми, так и чрезвычайно большими. Молекулы движутся хаотично, для их движения все направления равновероятны. Именно поэтому «еж скоростей» должен обладать сферической симметрией, которая заключается в следующем. Если вокруг точки выделить шаровой слой произвольного радиуса и толщиной (его объем то часть векторов скоростей будет оканчиваться в этом шаровом слое, при этом в любом месте этого слоя на единицу его объема будет приходиться примерно одинаковое число концов векторов скоростей.

Спроецируем концы векторов скоростей, сведенных началами в одну точку (рис. 3.8), на ось х. Если молекул то и проекций векторов будет также (на рисунке 3.8 отмечены проекции только двух молекул 1 и 2). Совокупность полученных таким образом точек на оси будет характеризовать распределение молекул по компонентам скоростей их теплового движения вдоль оси х.

Выделим на оси интервал от до . На этот интервал скоростей приходится некоторое число молекул Отношение есть вероятность нахождения молекул в выделенном интервале скоростей. Согласно (29.3) при замене на можно записать:

Рис. 3.8.

Рис. 3.9.

Разделив правую и левую части (30.1) на и перейдя к пределу, получим:

Интеграл вида

В нашем случае поэтому

Это выражение — искомое распределение по скоростям (распределение Максвелла). Функция при данной температуре зависит только от скорости молекул и выражает собой вероятность нахождения молекул в единичном интервале скорости от до (плотность вероятности). Для других компонент скоростей молекул получаются выражения, аналогичные (30.2) (с заменой индекса х на у или

Зависимость представлена графически на рисунке 3.9. Значения могут быть как положительными, так и отрицательными. Вероятности же обнаружения очень больших скоростей для обоих направлений очень малы (график функции быстро спадает при удалении от начала координат).

Произведение равное (вероятности нахождения молекул в интервале скоростей от до графически изображается площадью элементарной фигуры, имеющей основание и ограниченной сверху графиком функции (рис. 3.9),

Интеграл

даст относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале скоростей от до Интеграл такого же вида, взятый от до равен, очевидно, единице:

(Вероятность нахождения молекул в интервале скоростей от до равна единице.)

Повышение температуры системы приводит к снижению максимума функции (30.2), график зависимости деформируется за счет увеличения числа молекул с большими скоростями, но при этом площадь, ограничиваемая кривой (30.2), сохраняется.

Зная распределение по скоростям (30.2), можно найти среднее значение скорости а также любой величины, являющейся функцией скорости например

Найдем среднее значение квадратов компонент скоростей по заданной оси, например оси (среднюю квадратичную скорость теплового движения молекул по заданной оси): Согласно (27.10)

Разобьем ось малые интервалы На каждый такой интервал придется число частиц Произведение определит сумму квадратов компонент скоростей молекул по оси х для фиксированного их количества (Для этих молекул компоненты скоростей лежат в интервале от до Интеграл дает сумму квадратов компонент скоростей всех молекул; при делении на получим другое выражение для (30.4):

Используя (30.2), получим:

Значение интеграла

Следовательно,

Обратив внимание на рисунок 3.9, легко заметить его симметрию: вероятность обнаружения положительных и отрицательных компонент скоростей молекул равнозначных интервалов одинакова. Это означает, что относительно какой-либо оси (например, х) половина частиц движется в положительном направлении положительные), другая же половина — в отрицательном направлении. Именно поэтому средняя скорость частиц относительно любой оси (с учетом движения как в одну, так и в другую сторону) всегда равна нулю (для теплового движения все направления равновероятны).

Найдем среднее значение компонент скоростей молекул по заданному направлению (среднюю арифметическую скорость по заданному направлению). В качестве заданного направления выберем положительное направление оси х. Учитывая, что в рассматриваемом случае на основе соотношения (27.3), записанного в интегральной форме, найдем:

На основе (30.2) получим:

Интеграл следовательно,