§ 44. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО ДЛИНАМ ИХ СВОБОДНЫХ ПРОБЕГОВ

Согласно классическим представлениям микросостояние системы определяется скоростями и координатами центров масс ее молекул. Если зафиксировать положение молекулы порядковый номер) радиус-вектором то ее скорость будет совпадать по направлению с вектором перемещений определяющим смещение фиксированной частицы между двумя ее ближайшими соударениями (рис. 4.6). Модуль вектора равен длине свободного пробега частицы между двумя последовательными соударениями в точках 1 и 2 (рис. 4.6). Подобно частице и всем другим молекулам можно приписать длины свободных пробегов для каждого фиксированного момента времени. Длины свободного пробега — случайные величины, у одних частиц они могут быть большими,

Рис. 4.6.

у других — малыми. На интервал длин свободных пробегов от до будет приходиться молекул из общего числа их Одна из задач молекулярно-кинетической теории — отыскание функции распределения молекул по длинам свободных пробегов: Ниже эта задача решается методом преобразования распределений по скоростям в распределения по длинам свободных пробегов.

Запишем распределение Максвелла:

Перепишем это выражение в ином виде:

Полагая, что при всевозможных длинах свободных пробегов имеется и их наиболее вероятное значение (аналогично тому, как при различных скоростях молекул существует наиболее вероятная скорость), введем временной параметр :

Очевидно, есть время пробега наиболее вероятной длины свободного пробега с наиболее вероятной скоростью. Используя последние два выражения, найдем:

Параметр зависит от состояния системы, скорость же является переменной величиной, изменяющейся в пределах от до Введем функцию

которая имеет те же пределы, что и скорость Переменная I имеет размерность длины и по своему смыслу определяет возможные значения длин свободных пробегов. Используя (44.5), из (44.4) легко получить:

Это и есть искомое распределение длин свободных пробегов, которое в отличие от распределения Максвелла не зависит от температуры, хотя и изображается подобным графиком (рис. 4.7). Как и в случае распределения Максвелла, можно, пользуясь (44.6), определить среднюю арифметическую длину свободного пробега. Учащимся

Рис. 4.7.

полезно убедиться, что названная величина может быть выражена интегралом вида

вычисление которого приводит к соотношению

В предыдущем параграфе средняя длина свободного пробега находилась в результате усреднений отрезков путей, которые реализовались при движении одной молекулы в различные промежутки времени. Формула (44.7) эту же величину определяет через усреднение всех длин свободных пробегов, которые можно приписать совокупности молекул в данный момент времени. Два различных способа усреднения (среднее по времени и среднее по совокупности) согласно статистической физике должны давать одинаковые результаты.

В заключение отметим, что распределение по длинам свободных пробегов (44.6), как и распределения Максвелла, не имеет ограничений со стороны больших плотностей и может быть применимо для плотных газов. Распределение зависит от величины которая является функцией плотности среды. Значение легче всего определяется из (44.8) по значению средней длины свободного пробега. Для достаточно разреженных газов последняя легко находится из (43.4).