§ 21. АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ

Адиабатическим называется процесс, при котором система не получает теплоты извне и не отдает ее. В адиабатическом процессе работа совершается за счет убыли внутренней энергии. Для идеальных газов при (условие адиабатичности) из следует, что При адиабатическом расширении газа знаки приращений противоположны. Так, при адиабатическом расширении изменение же температуры (с расширением происходит охлаждение газа). При сжатии имеет место обратный температурный эффект (адиабатический нагрев).

Адиабатическое охлаждение воздуха легко демонстрируется с помощью устройства, изображенного на рисунке 2.10. В стеклянную бутыль, содержащую на дне небольшое количество смеси воды и спирта, нагнетается воздух через трубку, вставленную в резиновую пробку. Если затем пробку вынуть из отверстия бутыли, то в

Рис. 2.10.

ней появится туман как результат конденсации паров при их охлаждении.

Равновесный адиабатический процесс можно осуществить с помощью идеализированного устройства, подобного изображенному на рисунке 2.8. Для адиабатичности в этом устройстве цилиндр с газом должен быть изолирован от термостата. (Дно цилиндра должно быть адиабатным.) Если в таком устройстве убрать нагрузку на поршень (убрать несколько песчинок), то удары молекул о поршень вызовут его перемещение, при этом молекулы при ударе об удаляющийся от них поршень теряют часть своей кинетической энергии. (При упругом отражении от удаляющегося поршня, имеющего большую массу, нормальная составляющая скорости молекул уменьшается на удвоенную величину скорости поршня.) При сжатии газа (при увеличении нагрузки на поршень), наоборот, молекулы газа, ударяясь о приближающийся к ним поршень, приобретают дополнительную энергию.

Адиабатический процесс, как и любой процесс в идеальном газе, описывается уравнением Клапейрона — Менделеева, он характеризуется изменением температуры, объема и давления газа. Использование же первого начала термодинамики в случае адиабатического процесса позволяет найти функции, связывающие только два термических параметра:

Все три разновидности функциональной связи называются уравнениями Пуассона. Линии, изображающие указанные функции в координатах называют адиабатами. Приведем вывод уравнений Пуассона.

Первое начало для идеальных газов при имеет вид

В уравнение состояния

и уравнение (21.1) входят три переменные величины. Исключая из этих соотношений одну переменную, можно получить уравнение, связывающее две переменные. Так, дифференцируя (21.2):

и исключая температуру путем подстановки из найдем:

В полученное уравнение входит отношение теплоемкостей

которое играет чрезвычайно большую роль при описании термодинамических свойств как газов, так и жидкостей и твердых тел. Деля (21.4) на произведение легко прийти к выражению

Из последнего выражения следует, что

Это и есть уравнение адиабаты идеального газа (уравнение Пуассона) в переменных

Сравним уравнение адиабаты (21.6) с уравнением изотермы Дифференцирование последнего дает:

или

Продифференцировав (21,6), получим:

Из данного фиксированного состояния с параметрами и можно провести как изотерму, так и адиабату (рис. 2.11, а). При этом из сравнений (21.8) с (21.7) видно, что в точке пересечения

Рис. 1.11.

рассматриваемых кривых тангенс угла наклона адиабаты в у раз больше, чем изотермы (по абсолютному значению).

При увеличениях объема более значительный спад давления по адиабате по сравнению с изотермическим спадом объясняется тем, что при адиабатических изменениях на давление влияет как увеличение объема, так и снижение температуры При изотермических же изменениях давление зависит только от объема.

Два других уравнения Пуассона можно получить несколькими способами. Так, исключая из (21.2) и (21.6) параметр получим:

(сравнение адиабаты (21.9) с изотермой дано на рис. 2.11, б). Подобным же образом, исключив из названных уравнений параметр V (предварительно возведя (21.2) в степень найдем:

Рассмотрим работу адиабатического расширения газа. Для этого перепишем (21.1) в форме

где Для конечных адиабатических изменений следует взять интеграл в результате будем иметь:

Полагая, что (21.12) относится к произвольной массе газа, и вводя мольную теплоемкость, перепишем предыдущее уравнение в виде

Формула (21.13) является основной при расчетах работы в адиабатическом процессе. С использованием же (21.9) и (21.10) и вынесением за скобки можно получить две другие формулы для работы адиабатического расширения газа, полезные при рассмотрении частных случаев:

Теплоемкость, как неоднократно указывалось ранее, зависит от вида процесса. Так, при анализе свойств идеальных газов были введены теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном

давлении Теплоемкость же в изотермическом процессе может принимать значения Детальный анализ этого вопроса показывает, что теплоемкость любой системы в зависимости от процесса может принимать значения от до с прохождением через нуль. Нулевая теплоемкость присуща всем телам, испытывающим адиабатические изменения. Действительно, при (условие адиабатичности) имеем:

В заключение заметим, что реализовать равновесный адиабатический процесс в условиях лабораторной практик» чрезвычайно затруднительно из-за отсутствия материалов, которые бы совсем не проводили теплоту. Легче осуществить неравновесное (нестатическое) адиабатное сжатие или расширение газа. При этом стараются процесс провести как можно быстрее, чтобы за время его течения теплообменом через стенки сосуда можно было пренебречь (см. рис. 2.10). На этом основании, например, процесс сжатия горючей смеси в двигателе внутреннего сгорания можно считать близким к адиабатическому, что упрощает многие технические расчеты.