§ 33. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

В молекулярной теории большие успехи достигнуты в исследовании наиболее простого состояния веществ — разреженных газов, приближающихся по своим свойствам к идеальным газам. В рамках молекулярной теории для нахождения уравнения состояния идеального газа вводятся следующие упрощения: размеры молекул идеального газа считают пренебрежимо малыми по сравнению со средними расстояниями между молекулами, межмолекулярные взаимодействия — несущественными.

Рис. 3.15.

Запишем выражение для кинетической энергии поступательного движения однородных частиц, образующих термодинамическую систему (27.6):

где с — средняя квадратичная скорость теплового движения молекул. Использовав выражение (31.12, а), найдем:

здесь средняя квадратичная скорость теплового движения молекул относительно оси х. Введение усредненных характеристик молекул и с позволяет беспорядочное (тепловое) движение молекул представить как «упорядоченное», при котором все молекулы движутся по трем взаимно перпендикулярным осям с одной и той же скоростью, равной их средней квадратичной скорости.

Рассмотрим равновесное состояние идеального газа при температуре содержащего в единице объема молекул массой В целях нахождения уравнения состояния обратимся к рисунку 3.15. На этом рисунке изображена единица объема газа в форме кубика, две противоположные грани которого перпендикулярны оси х. Припишем всем молекулам одну и ту же скорость, равную средней квадратичной скорости. Тогда согласно вышеизложенному молекул, находящихся в единице объема, можно считать движущимися по оси х. Из них в положительном направлении оси (через грань рис. 3.15) будет двигаться половина (т. е. ). Движущиеся в положительном направлении оси х молекулы создают плотность потока (число молекул, проходящих через единицу площади за единицу времени):

Каждая из молекул потока (33.3) несет импульс (количество движения) Поэтому плотность потока импульса (перенос

импульса через единицу площади за единицу Бремени) в идеальном газе определится произведением

Уравнение (33.4) получено с использованием усредненных молекулярных характеристик и для идеальных газов является точным. Использованное же при выводе выражение (33.3) не отражает действительного переноса молекул (§ 34). Дело в том, что уравнение (33.3) определяет не истинный перенос молекул через единицу площади за единицу времени, а некоторую эффективную величину, правильно передающую значение плотности потока импульса (33.4). (В механике средняя скорость переменного движения также является эффективной величиной, правильно отражающей конечные перемещения тела, но ее значения не совпадают с действительными значениями скорости перемещения.)

Поток (33.4) характеризует тепловое движение по любому из направлений в идеальном газе. Так, если фиксируется ось х, то в двух ее направлениях существуют потоки (рис. 3.15, б): через единичную площадку в положительном направлении — поток в обратном направлении — Если площадка непроницаема для молекул, то она отражает частицы, при этом в условиях термодинамического равновесия потоки импульсов к площадке и от нее должны быть равными. Детальный же механизм взаимодействия площадки с молекулами газа чрезвычайно сложен. Во-первых, из-за ее неровностей отражение от нее молекул будет диффузным, во-вторых, акты столкновений молекул часто будут неупругими. (В одних случаях молекулы газа, сталкиваясь с молекулами стенки, будут терять энергию, в других случаях имеет место обратный эффект.) В среднем в состоянии термодинамического равновесия взаимодействие стенки с газом характеризуется равенством Изменение же плотности потока импульса при отражении молекул от твердой стенки окажется равным Беря модуль этой величины и используя (33.4), запишем:

Так определяется изменение импульсов газовых молекул при взаимодействии с единичной площадкой стенки сосуда за единицу времени. Согласно второму закону механики сила определяется изменением количества движения за единицу времени, поэтому (33.5) определяет силу, действующую со стороны газа на единицу площади стенки (с такой же силой, очевидно, стенка действует на газ). Сила, действующая на единицу площади, как известно, есть давление. Таким образом, давление идеального газа согласно (33.5) равно:

Используя выражение найдем;

Из полученного уравнения следует, что давление в идеальном газе пропорционально плотности газа и температуре.

Если умножить (33.7) на мольный объем V, то получим соотношение где число Авогадро. Учитывая, что перепишем уравнение состояния для моля идеального газа в виде

Уравнение для давления газа (33.7) интересно тем, что в нем отсутствуют какие-либо индивидуальные характеристики молекул. Именно поэтому можно утверждать, что оно применимо и для смеси газов. Для смеси общая концентрация молекул определяется суммой концентраций молекул отдельных компонент смеси;

где концентрация компоненты смеси с порядковым номером. Перепишем (33.7): или

Но есть давление которое создает первая компонента газовой смеси, давление второй компоненты и т. д. Соответственно (33.10) можно записать в форме, выражающей закон Дальтона:

согласно которому давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений его компонент. Этот закон ранее рассматривался как опытный (§ 9). Здесь же он нашел свое теоретическое обоснование.