§ 79. СИЛЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ НА КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ

Поверхностное натяжение в случае искривленной (не плоской) поверхности жидкости создает дополнительное давление, увеличивающее или ослабляющее давление, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. Для выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно (рис. 8.8, а), в случае вогнутой — отрицательно (рис. 8.8, б). Давление, обусловленное кривизной поверхности жидкости и направленное к центру кривизны, называется лапласовским или капиллярным

Для определения этого давления обратимся к выражению для свободной энергии поверхности жидкости (77.9):

Жидкость в состоянии равновесия имеет такую форму поверхности, при которой свободная энергия поверхности минимальна. Сокращение размеров поверхности связано с изменением объема среды. Лапласовское давление определяется производной или

Вычислим лапласовское давление для сферической поверхности жидкости: Дифференцируя, получим:

Рис. 8.8.

Рис. 8.9.

Подставляя эти значения в (79.2), найдем:

Знак «минус» в (79.3) указывает на то, что направлено к центру кривизны. Так определяется избыточное давление в каплях сферической формы и в пузырьках газа, находящихся внутри жидкости. Для мыльных пузырей лапласовское давление в два раза больше (79.3): (мыльный пузырь имеет две сферические поверхности с близкими радиусами).

Кривизну произвольной поверхности в отдельных ее точках характеризуют кривизной нормальных сечений. Нормальным сечением поверхности в данной точке называется линия пересечения этой поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке. На рисунке 8.9 показаны два главных (взаимно перпендикулярных) сечения и 12 некоторой поверхности в точке А. Сечения имеют радиусы и элементу поверхности соответствуют углы Площадь элемента поверхности Малые изменения поверхности в фиксированной точке представим такими смещениями элемента поверхности, при которых этот элемент смещается параллельно себе и углы остаются неизменными. Тогда если центры кривизны лежат по одну сторону от поверхности жидкости). Это в совокупности с (79.2) позволяет получить:

Если центры кривизны лежат по разные стороны от поверхности, то и одно из слагаемых, заключенных в скобки в выражении (79.4), будет иметь знак «минус».

Рис. 8.10.

Легко заметить, что формула (79.3) является частным случаем более общего выражения (79.4), так как для сферы

Рассмотрим поверхность, имеющую форму цилиндра радиусом В качестве нормальных сечений возьмем сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, и сечение плоскостью, перпендикулярной к оси (рис. 8.10, точка Л). Первым сечением будет прямая вторым — окружность радиуса подстановка этих значений в (79.4) приводит к выражению

Заметим, что при малых радиусах кривизны лапласовское давление может оказаться значительным. Так, при радиусе в см дополнительное давление в пузырьке воздуха, находящегося в воде, окажется равным: