§ 18. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ ДЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

В общем случае внутренняя энергия, дифференциал которой входит в выражение первого начала термодинамики

является функцией температуры и объема и приближенно выражается суммой двух слагаемых, одно из которых зависит только от температуры, другое — от объема:

Смысл последнего выражения заключается в следующем. Внутренняя энергия обусловлена наличием теплового движения частиц и их потенциальным взаимодействием. Потенциальная составляющая энергии зависит от средних расстояний между частицами, которые в свою очередь зависят от объема системы (при увеличении объема увеличиваются расстояния между частицами, и наоборот). Величина в (18.2) определяет потенциальную составляющую внутренней энергии. Следует подчеркнуть, что разделение внутренней энергии на составляющие весьма условно, так как кинетическая и потенциальная энергии молекул тесно взаимосвязаны.

В молекулярной теории показывается, что энергия теплового движения частиц определяется температурой, что и учитывается первым слагаемым правой части уравнения (18.2).

В идеальном газе размеры молекул намного меньше средних расстояний между ними, вследствие чего их энергией взаимодействия можно пренебречь. Полагая что справедливо для идеальных газов, перепишем (18.2):

В явном виде зависимость (18.3) от температуры можно получить только в рамках молекулярной теории, при этом получают, что (внутренняя энергия пропорциональна температуре). Введя коэффициент пропорциональности, запишем:

где

— постоянная, имеющая размерность теплоемкости и измеряемая в тех же единицах

Используя соотношение перепишем (18.1):

Уравнение (18.6) выражает первое начало термодинамики для идеальных газов.

Рассмотрим изохорический процесс Согласно (18.1) в изохорическом процессе теплота расходуется только на увеличение внутренней энергии (работа равна нулю): Соответственно можно ввести понятие теплоемкости при постоянном объеме:

В написанном выражении есть отношение бесконечно малого количества теплоты, поглощенного телом, к бесконечно малому изменению температуры, которым сопровождается процесс поглощения теплоты. Хотя есть дифференциал, но так как в общем случае не является полным дифференциалом какой-либо функции, отношение нельзя считать производной.

Из (18.7) и (при постоянном объеме) получим:

В последнем выражении есть также отношение бесконечно малых величин, но так как в общем случае то (18.8). определяет теплоемкость как частную производную внутренней энергии по температуре при постоянном объеме.

Соотношение (18.8) определяет теплоемкость при любой системы. Для идеального же газа внутренняя энергия зависит лишь от температуры и поэтому

Таким образом, введенная ранее величина (18.5) имеет смысл теплоемкости идеального газа при постоянном объеме.

Уравнение (18.6) обычно записывается для произвольной массы газа. Если ввести мольную теплоемкость (§ 14), то можно записать: