§ 31. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ ИХ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА)

Для вывода распределения молекул по скоростям удобно воспользоваться следующим приемом: скорости молекул изображать векторами с общим для всех началом в центре декартовой системы координат Такая система координат изображена на рисунке 3.10. В этой системе величина и направление вектора

скорости определяются положением точки, в которой вектор кончается. Модуль скорости

или

Рис. 3.10.

Системой координат выделяется так называемое пространство скоростей, элемент объема которого равен:

Произведение трех функций вида (30.2)

определяет вероятность попадания молекул в единичный объем пространства скоростей:

Так как эта функция зависит только от модулей скоростей, то для определения ее правой части можно поступить следующим образом. Вокруг начала координат в пространстве скоростей выделим две сферы радиусами Объем шарового слоя между указанными сферами равен В выделенном шаровом слое окончится некоторое определенное число векторов скоростей молекул. Обозначив это число через введем отношение

которое, как и (31.2), определяет вероятность попадания молекул в единичный объем пространства скоростей. Приравнивая правую часть (31.2) полученному отношению и учитывая (31.1), найдем:

Уравнение (31.3) было впервые получено Максвеллом и имеет фундаментальное значение в молекулярной теории газообразного и жидкого состояний вещества. Функция (31.3) определяет вероятность нахождения молекул в единичном интервале скоростей (от до

Рис. 3.11.

График функции (31.3) представлен на рисунке 3.11. Уравнение (30.2) описывает распределение проекции на ось х концов векторов скоростей, уравнение (31.3) — распределение проекций конечных точек векторов скоростей в ситуации, когда начала векторов сведены в одну точку и все они повернуты в положительном направлении оси

Как и следовало ожидать, функция (31.3) стремится к нулю при и при т. е. вероятность обнаружения покоящихся молекул и молекул, движущихся с очень большой скоростью, близка к нулю. Из графика 3.11 видно, что существует такая скорость, которой отвечает максимум функции распределения. Эту скорость называют наиболее вероятной и обозначаются. Исследуя функцию (31.3) на экстремум, легко найти, что

с учетом функцию (31.3) можно представить в ином виде:

Пользуясь кривой распределения Максвелла (рис. 3.11), можно графически определить относительное число молекул обладающих скоростями, лежащими в заданном интервале от до На рисунке 3.11 изображены два таких интервала с одинаковыми основаниями, но взятые в различных местах оси скоростей (одий из них включает наиболее вероятную скорость). Из сравнения заштрихованных элементарных площадей видно, что вероятность обнаружения молекул в интервале скоростей максимальна, когда этот интервал включает наиболее вероятную скорость.

Часто встречающееся утверждение о том, что «наиболее вероятная скорость — это та скорость, которой обладает большая доля молекул», ошибочно. Действительно, и при всегда Таким образом, вероятность обнаружения молекул с точно заданной скоростью в том числе и наиболее вероятной) заведомо равна нулю. Согласно (31.3)

Рис. 3.12.

Геометрически интеграл (31.6) изображается площадью, ограниченной графиком функции распределения Максвелла (31.3) (рис. 3.11). Соответственно вероятность обнаружения молекулы в интервале скоростей от О до равна единице. Из (31.4) и (31.6) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения Максвелла должен сдвигаться в сторону больших скоростей, высота же максимума при этом уменьшается (рис. 3.12).

Зная распределение (31.3), можно найти среднее значение скоростей теплового движения молекул (среднюю арифметическую скорость) и среднее значение квадрата скорости.

Средняя скорость теплового движения молекул согласно (27.3) равна:

Повторяя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались для получения (30.5), получим:

Подставив из (31.3), получим:

Интеграл следовательно,

Для средней квадратичной скорости Подставив из найдем:

Определенный интеграл в этом выражении равен следовательно,

Из (31.10), (31.9) и (31.4) следует, что

Таким образом, При этом средняя квадратичная скорость на 9% больше средней арифметической и на 22% больше наиболее вероятной скорости.

Ранее (§ 30) были получены значения средней квадратичной и средней арифметической скоростей теплового движения молекул в заданном направлении (вдоль оси Сравнивая (30.7) с (31.10) и (30.10) с (31.9), получим:

Напомним, что полученное из распределения Максвелла следствие (31.12, а) совпадает с тем, которое было получено ранее из определения средних величин.

Чрезвычайно важным следствием молекулярно-кинетической теории является установление связи между температурой и средней энергией поступательного движения молекул. Так, из (31.10) следует, что

Согласно (31.13) значение средней кинетической энергии поступательного движения молекул отличается от значения термодинамической температуры только на множитель Таким образом, термодинамическая температура — это величина, пропорциональная средней энергии теплового движения молекул.

Утверждение «тела имеют одинаковую температуру» означает, что средние энергии теплового движения молекул тел одинаковы. Утверждение «тело А более нагрето, чем тело В» означает, что молекулы тела А имеют в среднем большую энергию теплового движения, чем молекулы тела В.