2-3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Машина-двигатель.

Рассмотрим машину-двигатель с вращающимся ротором, у которой приведенный к оси вращения момент инерции ротора и связанных с ним подвижных частей равен постоянной величине Уравнение движения

где — угловая скорость вращения ротора; — движущий момент; момент сопротивления.

М у многих машин зависит от положения регулирующего органа (т. е. от управляющего воздействия) и от скорости (например, в электрических двигателях постоянного тока момент с возрастанием скорости уменьшается). Пусть . Момент сопротивления разобьем на два слагаемых: Первое слагаемое зависит от скорости (например, тормозной вентиляторный момент), второе, зависящее от времени,

представляет собой возмущающее воздействие (например, нагрузку). Уравнение (2-9) принимает вид:

После линеаризации получаем два уравнения: уравнение статики

уравнение динамики в отклонениях

Функции обычно задаются графически, в виде характеристик. Так как функция только одной переменной, значение коэффициента находится сразу, как угловой коэффициент касательной к кривой в точке Функция зависит от двух переменных и должна задаваться в виде семейства характеристик, например При (рис. 2-2, а). Восстановим перпендикуляр к оси в точке Производная для кривой, соответствующей найдется сразу. Строим оси (рис. 2-2, б), переносим в их плоскость точки соответствующие скоростям и проводим через эти точки плавную кривую. Касательная к ней в точке имеет угловой коэффициент, равный

Рис. 2-2.

Уравнения часто приводят к безразмерной форме, введя относительные отклонения

Выбор базовых значений хотя и произволен, но обычно в качестве принимают значение номинального момента сопротивления в качестве заданное значение а в качестве — такое значение и, которым обеспечивается при в статике. Когда скорость равна заданной отклонение отсутствует Кроме того, положив получим:

Тогда уравнение динамики в относительных отклонениях при этом примет вид:

Приведем его к форме, наиболее распространенной в теории автоматического регулирования. В ранних работах уравнение приводили к виду

В настоящее же время предпочитают форму

Очевидно,

Величина называется коэффициентом самовыравнивания, в ранних работах называлась постоянной машины. называют постоянной времени объекта, — коэффициентом передачи объекта.

Установившееся отклонение найдем из (2-10), положив

Отсюда видно, что при заданных воздействиях отклонение обратно пропорционально таким образом характеризует свойство самого объекта противостоять внешним воздействиям. Чем больше тем меньше объект нуждается в регулировании. Если то машина лишена самовыравнивания и малейшее нарушение баланса между движущим моментом и моментом сопротивления приводит теоретически к беспредельному увеличению (или уменьшению) выходной величины. Машина, лишенная самовыравнивания, без регулятора работать не может принципиально.

Уравнение машины без самовыравнивания

У машины без самовыравнивания. равно времени, в течение которого ненагруженная машина при внезапном полном открытии управляющего органа разгоняется из состояния покоя до номинальной скорости, поэтому называют также временем разгона.

При аналогичных воздействиях машина с самовыравниванием будет разгоняться по экспоненциальному закону

и скорость за достигнет 67,3% установившегося значения.

Коэффициент самовыравнивания положителен, если т. е. если характеристика момента сопротивления в рассматриваемой точке идет круче характеристики движущего момента.

Машинами с положительным самовыравниванием являются двигатели постоянного тока и машины с вентиляторной нагрузкой: гидравлическая турбина, авиационный двигатель с пропеллером. Машины без самовыравнивания — паровая машина и турбина.

Генератор постоянного тока.

Регулируемой величиной для генератора является напряжение на зажимах якоря, управляющей величиной — напряжение, подводимое к обмотке возбуждения. В качестве нагрузки принимают ток якоря или же параметры (сопротивление, индуктивность) нагрузки.

Примем, что скорость вращения ротора генератора постоянна, температуры обмоток неизменны, гистерезис отсутствует, реакция якоря полностью скомпенсирована, индуктивностью якоря и нагрузки можно пренебречь. Тогда основные цепи машины описываются уравнениями: цепь якоря

где - э. д. с. генератора; и — регулируемое напряжение; — сопротивление обмотки якоря; ток нагрузки;

э. д. с. определяется из характеристики холостого хода

где — ток возбуждения; цепь возбуждения

где — сопротивление обмотки возбуждения; Ф — ее магнитный поток; — коэффициент рассеяния; — число витков; поток и э. д. с. пропорциональны:

Линеаризуя характеристику холостого хода, получаем после некоторых преобразований

где

Постоянная времени может быть рассчитана, если известны обмоточные данные машины, т. е. число витков обмотки возбуждения число активных проводников на якоре число пар параллельных ветвей обмотки якоря а, число пар полюсов и число оборотов якоря в минуту . Тогда

а можно принять равным 1,2-1,25. Если эти данные неизвестны, определяют из опыта, осциллографируя переходный процесс тока возбуждения при внезапном приложении постоянного Постоянная времени пропорциональна крутизне характеристики холостого хода поэтому для других режимов она будет иметь другое значение. Нетрудно видеть, что при увеличении нагрузки с насыщением магнитной цепи машины постоянная уменьшается.

Посмотрим, как учитывать изменение активной нагрузки Зависимость

нелинейна, поэтому линеаризуем ее:

После подстановки в (2-13) и небольших преобразований получим:

т. е. характер уравнения сохраняется, изменяется лишь значение коэффициентов при воздействиях.

Двигатель постоянного тока.

Рассмотрим двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, управляемый путем изменения напряжения на его якоре Считая поток возбуждения неизменным, а индуктивность обмоток постоянной, имеем

где — момент инерции ротора; — угловая скорость ротора; — соответственно сопротивление и индуктивность

якоря; движущий момент и момент сопротивления; постоянные. Исключая все переменные, кроме со, переходя к приращениям и опуская А, получаем:

где — электромеханическая, а — электромагнитная постоянная времени; Поскольку уравнения линейны и стационарны, уравнения в отклонениях имеют такой же вид.

При различных условиях уравнение (2-14) может видоизменяться. Например, если постоянная Г, значительно меньше, чем что часто имеет место, то

Ме.

Если двигатель используется для перемещения регулирующего органа, то в качестве его выходной величины следует рассматривать угол поворота Уравнение примет вид:

Относительно переменной а двигатель является уже астатическим звеном. Если временем разгона двигателя и нагрузкой можно пренебречь по сравнению с временем движения регулирующего органа, то

В этом режиме двигатель работает как интегратор.

Система генератор — двигатель.

В схеме генератор — двигатель двигатель является нагрузкой для генератора. Будем рассматривать в качестве регулируемой величины угловую скорость вращения вала двигателя, в качестве управляющего воздействия — напряжение возбуждения генератора, в качестве возмущения — момент сопротивления на валу двигателя. Уравнение системы получаем, объединяя уравнения генератора и двигателя, заменив в последних значения сопротивления и индуктивности якоря двигателя суммарными значениями сопротивлений и индуктивности якорей генератора и двигателя и соответственно взяв вместо напряжения на якоре двигателя э. д. с. генератора е. После исключения из уравнений получаем:

где