5-5. КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА

Когда порядок характеристического уравнения высок, алгебраические критерии устойчивости, как правило, не дают возможности установить степень влияния отдельных параметров на устойчивость и получить рекомендации по выбору этих параметров. В связи с этим в 30-х годах были разработаны более приспособленные для инженерных исследований и расчетов графоаналитические методы, использующие частотные характеристики. В 1932 г. Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитуднофазовой характеристике разомкнутой системы. Первоначально критерий предназначался для исследования радиотехнических усилителей с обратной связью, но вскоре он получил широкое распространение для исследования устойчивости следящих систем и систем автоматического регулирования [92].

Рассмотрим функцию

В числителе этой дроби содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе — характеристический полином разомкнутой системы.

Пусть степень полинома не выше степени полинома Тогда степени числителя и знаменателя (5-36) одинаковы и равны

Расположим в правой полуплоскости плоскости 5 комплексной переменной замкнутый контур С, на границе которого функция не имеет полюсов. В соответствии с теоремой Коши

где — число нулей, число полюсов, которые функция имеет внутри контура С (обход по контуру происходит в направлении движения часовой стрелки, поэтому вместо в теореме Коши, при выводе которой подразумевался обход против часовой стрелки, стоит выражение обратного знака). Заметим, что нулями функции являются корни характеристического уравнения замкнутой системы а полюсами — корни характеристического уравнения разомкнутой системы

Отобразим конформно контур С на плоскость Выражение (5-37) примет вид:

Для исследования устойчивости контур С удобно выбрать, так, чтобы он охватил всю правую полуплоскость. Обычно он образуется из дуги полуокружности радиуса с центром в начале координат и ее диаметра, расположенного на мнимой оси (рис. 5-13, а). Когда радиус бесконечно велик, контур охватывает всю правую полуплоскость. При этом на дуге окружности полюсов функции нет, так как рациональная дробь рассматриваемого вида не имеет полюсов в бесконечности. На мнимой оси полюсы возможны, поэтому на первой стадии исследования сделаем предположение, что функции не имеют полюсов на мнимой оси.

Рис. 5-13.

При движении по мнимой оси в плоскости от до аргумент принимает чисто мнимые значения , следовательно, в плоскости происходит движение по контуру т. е. по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, показанной на рис. 5-13,б сплошной линией, отточки А, соответствующей до точки А, соответствующей Обходу же по дуге полуокружности контура С

соответствует движение по ответвлению , показанному прерывистой линией. Таким образом, контур Г, являющийся конформным отображением контура С, состоит из части характеристики между точками и ответвления Г.

Будем увеличивать до бесконечности. Так как степень не выше степени то

поэтому при беспредельном увеличении ответвление контура Г стягивается в точку на действительной оси (в начало координат при т. е. обходу всей правой полуплоскости соответствует обход по всей частотной характеристике в плоскости Если не имеет полюсов на мнимой оси, то при изменении от образует замкнутый контур Г и точки и этого контура лежат на действительной оси.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы число нулей (число правых корней было равным нулю. Тогда условием устойчивости является равенство

где Р — число правых корней уравнения

Представим в виде

тогда

или

(поскольку модуль не получает приращения при обходе по замкнутому контуру и ).

Формула (5-41) выражает критерий Найквиста: приращение аргумента функции устойчивой системы при обходе контура С по часовой стрелке равно числу правых корней

рактеристического уравнения разомкнутой системы, умноженному на Обычно используется несколько иная формулировка, соответствующая геометрической трактовке.

В плоскости функция изображается вектором, начало которого находится в точке а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.

Так как при вещественных коэффициентах полиномов характеристика симметрична относительно действительной оси, то рассматривают обход не по всему замкнутому контуру, а по его половине, соответствующей положительным значениям со. Тогда

В теории управления принята следующая формулировка критерия Найквиста.

Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы при возрастании со от 0 до вектор скользящий своим концом по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки в направлении по часовой стрелке раз, где Р — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если разомкнутая система устойчива и то суммарный поворот вектора при этих условиях должен быть равным нулю. В этом случае, если характеристика не имеет самопересечений (что бывает, например, если постоянная, не зависящая от ), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы точка находилась вне контура амплитудно-фазовой характеристики.

Последняя формулировка — самая ранняя, «классическая». Следует предостеречь от огульного применения классической формулировки к общему случаю, к сложным неодноконтурным системам. Надо сначала убедиться, что, во-первых, характеристика не имеет самопересечений и, во-вторых, что

Критерий Найквиста требует знания числа Р правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Для простых одноконтурных систем (для которых первоначально и формулировался критерий) подсчет Р не представляет труда. Разомкнутая система является при этом последовательным соединением типовых звеньев, и знаменатель передаточной функции содержит только простейшие множители первого и второго порядков, для каждого из которых легко оценить знаки вещественных частей корней.

Для неодноконтурных систем после их размыкания не получается простейшей разомкнутой цепочки и подсчет правых корней усложняется. В связи с этим еще в 40-х годах были

разработаны специальные методы, сводящиеся к последовательному многократному размыканию системы до тех пор, пока не получится простейшая цепочка [60, 89]. Однако в последующие годы был предложен ряд других критериев, и сегодня распространение критерия Найквиста на многоконтурные системы уже практически малополезно; в этих случаях - целесообразнее использовать другие критерии (Михайлова, -разбиение и др.).

При наличии самопересечений характеристики могут возникнуть затруднения при подсчете оборотов вокруг точки . В этом случае можно рекомендовать для суждения об устойчивости «правило переходов», предложенное Я. 3. Цыпкиным [69].

Назовем переход характеристики через действительную ось слева от точки положительным, если он происходит с верхней полуплоскости на нижнюю, и отрицательным — в противном случае. Если характеристика начинается на действительной оси при или заканчивается на ней при будем считать, что она совершает половину перехода. Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: замкнутая система устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов характеристики через отрезок действительной оси при изменении от О до будет равна где Р — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Случаи, когда имеют полюсы на мнимой оси. При наличии в разомкнутой системе астатических звеньев полипом принимает вид:

где — порядок астатизма; не имеет нулевых корней. В этом случае функция имеет в начале координат нулевой полюс кратности Чтобы удалить этот корень с контура С, обойдем начало координат по дуге малого радиуса (рис. 5-14).

Функция ведет себя в окрестности этого полюса как . В плоскости началу координат плоскости соответствуют две уходящие в бесконечность ветви характеристики Полуокружность малого радиуса в плоскости отображается в плоскости в полуокружностей радиуса обходимых по часовой стрелке (поскольку полуокружность обходится, если она лежит в правой полуплоскости, против часовой стрелки). Таким образом, если нулевой полюс имеет кратность то ветви характеристики следует замкнуть по часовой стрелке полуокружностями бесконечно большого радиуса. Если нулевой корень простой, т. е. ветви замыкаются одной полуокружностью.

Аналогичные выводы можно сделать и для чисто мнимых корней. Каждой паре чисто мнимых корней будут соответствовать в плоскости помимо характеристики две дополнительные полуокружности бесконечно большого радиуса с центром в начале координат, обходимые по часовой стрелке.

Для подсчета необходимого числа оборотов вектора вокруг точки в плоскости можно использовать также формулу (5-41), если при определении Р простые полюсы во внутренних точках правой полуплоскости считать, за единицу, а на мнимой оси — за половину; в случае же полюсов кратности — соответственно за и

Рис. 5-14.