Теорема Гурвица.

Для того, чтобы все корни уравнения (5-31) с постоянными вещественными коэффициентами были левыми, необходимо и достаточно, чтобы при определители Гурвица

были положительными.

Определитель составляется так, что его первый элемент всегда индексы в каждой строке последовательно возрастают на 2, а в каждом столбце убывают на 1, и а, принимается равным нулю, если или

Некоторые общие замечания. Вычисление определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений и неоправданной затратой времени, поэтому весьма полезны правила, упрощающие расчеты.

1. Необходимое условие устойчивости Стодолы. Для расположения всех корней слева от мнимой оси необходимо (но недостаточно), чтобы все коэффициенты а; были положительны. В самом деле, множители в разложении полинома соответствующие вещественным левым корням, имеют вид соответствующие паре комплексных левых корней — т. е. имеют положительные коэффициенты. Но произведение элементарных множителей с положительными коэффициентами дает полином также с положительными коэффициентами. Условие является необходимым и достаточным для полиномов первой и второй степени.

2. Если все коэффициенты положительны, то, так как положительности достаточно, чтобы был положителен и

3. Если все коэффициенты положительны, то для устойчивости достаточно положительности или всех с четными, или всех с нечетными индексами (критерии Льенара — Шипара). Это позволяет при положительности коэффициентов ограничиваться исследованием только знаков определителей .

Так, для уравнений 3, 4 и 5-й степеней, кроме положительности коэффициентов, необходимо выполнение условий:

4. Критерий Гурвица удобно применять для уравнений не выше четвертой степени. Для более высоких степеней целесообразнее использовать алгоритм Рауса, применяя машинный счет. Для дальнейшего полезны также некоторые правила отделения корней.

5. Если все коэффициенты уравнения положительны, то все вещественные корни (если они есть) отрицательны. (Комплексные корни при этом могут быть и правыми.) Это вытекает из того, что ни одно вещественное положительное число не может обратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами.

6. Правило знаков Декарта. Если в последовательности

имеется одна перемена знака, то имеется один положительный вещественный корень. Применяя правило к получаем аналогичное утверждение для отрицательных корней.

Если число перемен знака больше единицы и равно то число положительных вещественных корней равно либо меньше на четное число. (Промежуточные коэффициенты, равные нулю, при подсчете числа перемен знака не учитываются).

7. Число правых корней равно числу перемен знака в любой из последовательностей

или

где — определители Гурвица.

При обращении в нуль какого-либо из А; подсчет усложняется.

8. Число перемен знака в последовательности из элементов первого столбца таблицы Рауса

равно числу правых корней.

9. Обращение в нуль определителя свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней.

10. Использование метода обобщенных параметров (см. § 2-5) позволяет (при положительных коэффициентах исходного характеристического уравнения) значительно упростить форму условий Гурвица (особенно для систем невысокого порядка), Так, например, для условие устойчивости записывается в виде

При условие устойчивости

При условия устойчивости несколько усложняются, все же имеют значительно более простой вид (по сравнению с обычными условиями Гурвица). Так, для эти условия имеют вид:

Использование обобщенных параметров позволяет дать наглядную геометрическую интерпретацию условий устойчивости (т. е. произвести построение области устойчивости) при любой степени характеристического уравнения (см. § 6-1).