Апериодическое звено второго порядка.

При корни вещественны и отрицательны. Уравнение интегральной, кривой такое же, как и (5-21), но его решение иное:

С помощью этих уравнений некоторые задачи решаются проще, чем с помощью параметрических, например, для нахождения экстремальных значений в переходном процессе полагаем и получаем

Для исследования фазового портрета удобнее воспользоваться решениями уравнения (5-18):

Произвольные постоянные можно выразить через начальные условия

или, выразив значения корней через коэффициенты уравнения, получим:

Перед построением фазового портрета полезно отметить некоторые его свойства.

Наклон касательных к траекториям при пересечении с осью характеризуется угловым коэффициентом — . (Это справедливо, очевидно, и для случая комплексных корней.)

Из (5-27) следует, что если начальная точка лежит на прямой то постоянная обращается в нуль и решение уравнений принимает вид:

т. е. траектория представляет собой прямую линию проходящую через начало координат и имеющую угловой коэффициент Аналогично при обращается в нуль и траектория представляет прямую с угловым коэффициентом Эти две траектории являются особыми, вырожденными.

Остальные фазовые траектории не прямолинейны. В самом деле, если уравнение фазовой траектории то и из (5-20) получаем или т.е. угловой коэффициент прямолинейной траектории равен корню характеристического уравнения. Такие траектории существуют только при вещественных корнях, и их только две.

Остальные траектории имеют асимптотой ту прямолинейную траекторию, у которой . В самом деле, из (5-26) найдем:

Так как для неособых траекторий то можно умножить обе части уравнений на

Поделив второе из уравнений (5-30) на первое, получим:

При фазовая траектория стремится к началу координат, а первые слагаемые в числителе и знаменателе правой части последнего уравнения стремятся к нулю, так как Отсюда

т. e. прямая является асимптотой для всех неособых траекторий.

На рис. 5-9 построены траектории для уравнения

Точка равновесия относится к типу узла. Устойчивый узел характерен тем, что все траектории в него входят под углом кроме одной особой, входящей в него под углом При узел становится неустойчивым.

При уравнение имеет вид Корни вещественны и различны по знаку. При наибольший по модулю наклон имеет особая траектория во втором и четвертом - квадрантах, при — в первом и третьем; характер же кривых такой же, как и в случае (рис. 5-10).