ГЛАВА ПЯТАЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

5-1. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Самое первое требование, предъявляемое к системе, состоит в том, чтобы она была способна выполнять свои функции устойчиво. «Термин «устойчивость» настолько выразителен, что он сам за себя говорит», — начинают изложение теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [88]. Но для математического анализа устойчивости требуется ее количественная характеристика.

В обиходе термин «устойчивость» часто применяют к системе. Но это не вполне корректное употребление. Устойчиво то, что может длительно сохраняться. Устойчивы ли шар или куб? Такой вопрос можно задать, если речь идет о материале, из которого они сделаны (твердый шар устойчив, шар из дыма — нет). Но в динамике, в теории управления правильнее говорить об устойчивости не самой системы, а ее состояния — равновесия или движения.

Если куб помещен на горизонтальную плоскость одной из своих граней (рис. 5-1,а), его положение равновесия устойчиво, если же он поставлен на ребро (рис. 5-1,б)-неустойчиво.

Устойчивость может зависеть не только от формы самого тела, но и от опорной поверхности. На рис. 5-2 показан ряд состояний равновесия шара на поверхностях: а — устойчивое, безразличное на горизонтальной плоскости, при котором шар может занимать произвольное положение на плоскости; такое равновесие называют нейтрально устойчивым; б — устойчивое в низшей точке впадины криволинейной поверхности, при котором состояние равновесия единственно; в — неустойчивое на вершине «холма»; положение б устойчиво внутри области и неустойчива на ее границе

Для исследования устойчивости равновесия предполагают, что система под действием внешнего толчка отклонилась от положения равновесия, и изучают те силы, которые возникают в результате этого отклонения. Если они в силу свойств системы (или описывающего ее состояние уравнения) стремятся вернуть систему в положение равновесия при любом направлении отклонения, равновесие устойчиво (силы ); если они стремятся увеличить отклонение (силы равновесие неустойчиво. При этом

необязательно, чтобы система возвращалась к равновесию точно: если, например, под действием сил трения шар остановится, не доходя до прежнего состояния, равновесие считается устойчивым.

Понятие об устойчивости движения более тонко и сложно, но так как равновесие — частный случай движения, точное определение понятия устойчивости следует привести именно для движения.

Система в рабочем состоянии может совершать некоторое заранее заданное движение.

Рис. 5-1.

Рис. 5-2.

Часы должны перемещать стрелки в соответствии с астрономическим временем. Ракета должна лететь к цели по заданной траектории. Заданное движение называют невозмущенным движением. Если система описывается дифференциальным уравнением, невозмущенному движению соответствует одно из частных решений уравнения. Внешние воздействия смещают движущуюся систему с заданной траектории, и фактическое движение (возмущенное) будет отличаться от невозмущенного.

Обычно рассматривается одна из двух следующих групп возмущений: а) изменение в заданный начальный момент внешних сил; б) возмущение начальных условий, когда вместо заданной совокупности начальных условий

рассматривается совокупность

Отклонения (вариации) процесса

где - невозмущенное, — возмущенное движение, обычно и рассматриваются при исследовании устойчивости вместо переменных . Уравнения движения принимают вид:

где — непрерывные, имеющие все частные производные по своим аргументам функции в некоторой области

Невозмущенному движению соответствует тривиальное решение , т. е. точка начала координат -мерного пространства X состояний системы, а роль возмущений играют сами начальные условия

Каждому моменту времени для возмущенного движения, начавшегося из точки в пространстве состояний соответствует точка При возрастании эта точка (изображающая точка) прочерчивает в пространстве кривую, называемую траекторией свободного движения в пространстве состояний. Уравнения интегральной кривой можно получить в параметрической форме, найдя решения уравнений (5-1)

Но уравнение кривой можно получить и иным путем, исключив из уравнений (5-1) время. Для этого каждое из уравнений (5-1) делится на предыдущее и получается система из уравнений

Их решение

будет уравнением интегральной кривой в пространстве состояний. Интегральная кривая может совпадать с траекторией или состоять из нескольких (множества) траекторий.

Движение при начальных условиях изображается траекторией, исходящей из точки , т. е. из начальной точки пространства состояний.

Интегральные кривые, а следовательно, и траектории обладают важным свойством. Если функции определены в некоторой открытой области пространства X, удовлетворяют условиям Коши в этой области (т. е. непрерывны и имеют частные производные по своим аргументам), то интегральные кривые во всей области Q (за исключением особых точек, в которых одновременно имеют единственное значение производных , т. е. не пересекаются друг с другом. Особые точки соответствуют положениям равновесия.

Определение устойчивости по А. М. Ляпунову [33, 35, 71].

Приведем формулировку определения устойчивости для автономной системы, в уравнениях которой функции зависят только от аргументов и не зависят явно от

Пусть функции удовлетворяют в некоторой области неравенству т. е. условиям Коши — Липшица. Будем рассматривать только те части траекторий, которые соответствуют значениям

Положение равновесия в начале координат называется устойчивым, если для любого наперед заданного внутри

области как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число такое, что при любых возмущениях удовлетворяющих условию

т. е. расположенных внутри сферы в области и при всяком выполняются неравенства

В пространстве состояний это можно интерпретировать так. Внутри сферы радиуса (рис. 5-3) удовлетворяются условия Коши — Липшица. Задана сфера радиуса за пределы которой не должно выходить возмущенное движение. Для этого начальные точки всех возможных возмущенных траекторий должны лежать внутри сферы радиуса . Равновесие устойчиво, если такая сфера существует.

Рис. 5-3.

Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если, кроме того, существует такое что каждая траектория, начавшаяся внутри сферы при неограниченном возрастании стремится к началу координат

Ншдгг

Положение равновесия неустойчиво, если для некоторого, хотя бы одного и любого , каким бы малым ни выбиралось , можно найти внутри сферы такую точку что начинающаяся в этой точке траектория за конечное время достигнет сферы

На рис. 5-3 изображены траектории устойчивого (кривая 1), асимптотически устойчивого (кривая 2) и неустойчивого (кривая 3) движений.

Знакоопределенные и знакопостоянные функции.

В исследованиях устойчивости существенную роль играют функции координат х и времени сохраняющие в некоторой области аргументов знак при всех изменениях аргументов в этой области. Поскольку в данном разделе исследуется устойчивость только автономных систем, рассмотрим функции являющиеся функциями только координат х и не зависящие явно от времени.

Функция называется знакопостоянной, если при всех значениях х, удовлетворяющих условию

значение А можно выбрать достаточно малым, но отличным от нуля так, что функция будет удовлетворять условиям:

1) она зависит от всех переменных

2) она принимает, кроме нулевых, значения только одного знака. В зависимости от знака знакопостоянную функцию называют положительной или отрицательной.

Если знакопостоянная функция обращается в нуль только тогда, когда в нуль обращаются все ее аргументы, она называется знакоопределенной (определенно положительной или определенно отрицательной).