ГЛАВА ШЕСТАЯ. СПОСОБЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

6-1. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Под стабилизацией системы в данной главе будем понимать обеспечение устойчивости.

При расчете и проектировании систем важно не просто знать, будет ли система устойчивой при заданных значениях ее параметров (а критерии устойчивости дают ответ именно на этот вопрос), а иметь возможность оценивать, в каких пределах, в какой области следует выбирать значения параметров, при которых устойчивость обеспечивается. Одним из наиболее удобных способов представления таких областей является их изображение на плоскости параметров. В качестве параметров, откладываемых по координатным осям, выбирают два параметра, которые удобно изменять в процессе настройки регулятора. Если требуется выяснить влияние на устойчивость трех параметров А, В, С, то строят несколько сечений пространства этих параметров плоскостями двух параметров А, В для различных значений третьего параметра

Впервые область устойчивости системы прямого регулирования в плоскости двух коэффициентов характеристического уравнения третьего порядка была построена И. А. Выщнеградским. Для уравнения третьего порядка форма Вышнеградского (2-69) принимает вид:

Из условий устойчивости Гурвица вытекает

откуда граница устойчивости

В плоскости параметров А и В граница области устойчивости — гипербола, расположенная в первом квадранте. Она называется гиперболой Вышнеградского.

При этом областью устойчивости является область, лежащая в первом квадранте выше гиперболы Вышнеградского.

По-видимому, более удобным для построения области устойчивости при является использование формы Л. Эйлера (см. § 2-5).

При уравнение в форме Л. Эйлера записывается в виде

Тогда область устойчивости огранйчивается на плоскости положительными полуосями и гиперболой т. е.

область устойчивости получается «закрытой» (в отличие от диаграммы И. А. Вышнеградского), что представляется более понятным для инженера, так как подчеркивает ограниченность допустимых значений параметров системы.

Весьма общую графическую интерпретацию условий устойчивости (при любом дает использование метода обобщенных параметров, предложенного О. К. Соболевым [48]. При этом (в случае четных степеней область устойчивости на плоскости (величины при любом равны нулю) всегда является частью первого квадранта (точнее — частью квадрата со сторонами, равными единице), ограниченной положительными полуосями отрезками прямых линий (уравнения которых зависят от

Рис. 6-1.

Интересно отметить, что уравнения этих прямых получаются из условия Гурвица а все остальные условия Гурвица лишь отсекают не имеющие отношения к границе области устойчивости участки указанных прямых (по терминологии Ю. И. Неймарка — паразиты).

На рис. 6-1 показаны примеры областей устойчивости при (случаи получаются из приведенных областей соответственно при ).

При требуется построение уже серии графиков, однако (поскольку можно показать, что при любом для устойчивой системы все число таких графиков должно быть невелико (5-10).

Следует отметить, что из приведенных рассуждений и графиков следует наглядное подтверждение физически очевидного вывода о том, что учет более детального описания динамических свойств системы (повышение приводит к большему ограничению допустимых (с точки зрения устойчивости) значений параметров системы.

В общем случае границы области устойчивости можно найти, приравняв нулю коэффициенты ) и предпоследний определитель Гурвица

Первое из этих условий соответствует нулевому корню в

характеристическом уравнении, второе — уходящему в бесконечность корню при вырождении (понижении порядка) уравнения, третье — наличию пары чисто мнимых корней. Эти три условия разбивают пространство параметров на ряд областей; из них областью устойчивости будет та, где положительны все определители Гурвица. Если система находится на границе устойчивости, так что то граничную частоту можно найти по формуле

где — коэффициент из таблицы Рауса.

Такой метод применялся давно [9]. Он может быть использован, если уравнение не слишком сложно.

В отдельных случаях границы области устойчивости могут быть найдены по любым критериям, если в них неравенства заменить равенствами. Так, используя критерий Найквиста, можно искать уравнение границы области устойчивости в виде

Используя критерий Михайлова, получаем:

Наиболее общий метод построения областей с одинаковым числом правых корней и выделения из них области устойчивости был предложен Ю. И. Неймарком [41—43] и назван им методом D-разбиения.

Пусть в характеристическое уравнение входят два параметра А и В, в плоскости которых требуется построить область устойчивости. Границу D-разбиения найдем из уравнения

где D — функция Михайлова, в которую входят теперь как аргументы, а — как параметр, принимающий произвольные вещественные значения. Комплексное уравнение (6-3) разобьем на два вещественных:

где — вещественная и мнимая функции Михайлова. Рассматривая со как заданную величину, решаем уравнения относительно А и В. Если система (6-4) совместна, получаем:

Придавая со все различные значения в пределах построим семейство кривых D-разбиения. Внутри каждой из

областей D-разбиения каждой точке в плоскости параметров А, В соответствует одинаковое количество правых корней

На границе каждой из областей обращаются в нуль или один вещественный корень, или вещественные части пары комплексных корней, т. е. по одну сторону каждой из кривых D-разбиения на один или два правых корня меньше, чем по другую сторону. Это отмечается штриховкой кривой со стороны, где больше левых корней (однократной, если при переходе с незаштрихованной стороны на заштрихованную прибавляется один левый корень, и двукратной, если прибавляются два левых корня). На рис. 6-2 у номера области в скобках показаны два числа: первое — число левых, второе — правых корней. Область если она существует, будет областью устойчивости. Если в плоскости данных параметров области устойчивости не оказалось, это означает, что выбором только этих двух параметров систему сделать устойчивой нельзя, т. е. что по отношению к этим двум параметрам система структурно-неустойчива.

Рис. 6-2.