Критерий Рауса.

Для того, чтобы все корни полинома (5-31) были левыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

где

Для удобства запоминания своего алгоритма Раус предложил следующее правило. Составим таблицу (табл. 5-1). В верхней строке таблицы запишем последовательно коэффициенты с четными индексами, под ними во второй строке — коэффициенты с нечетными индексами Эти две строки отделены от остальных вычисляемых строк линией. Столбцы таблицы нумеруются, начиная со столбца, содержащего

Каждый из вычисляемых коэффициентов строке и столбце равен определителю второго порядка, первый столбец которого составлен из элементов, записанных в. следующем столбце таблицы на двух расположенных выше строках Первый элемент второго столбца определителя образован из частного от деления двух элементов первого столбца, расположенных на двух вышележащих строках. Второй элемент второго столбца равен единице. Значения поскольку на них умножается ряд коэффициентов, выписаны в дополнительном столбце таблицы слева.

Условие устойчивости: все элементы первого основного столбца таблицы Рауса (включая должны быть одного знака (положительными, если

В табл. 5-2 показан численный расчет элементов таблицы Рауса для уравнения

Все элементы первого столбца положительны, и все корни уравнения поэтому левые.

Д. К. Максвелл, исследовав устойчивость системы регулирования, столкнулся с необходимостью иметь общие условия устойчивости линейных систем произвольного порядка. Решив эту задачу для уравнения 4-й степени, он в 1868 г. на заседании лондонского математического общества поставил общую проблему. Откликнувшись на эго предложение, Е. Дж. Раус в 1877 г. опубликовал условия (5-32) [94].

Работа Рауса, однако, осталась незамеченной многими его современниками, и 20 лет спустя история повторилась. В начале 1890-х годов А. Стодола, занимавшийся исследованием регулирования гидравлических турбин, предложил своему коллеге профессору Гурвицу заняться нахождением критерия устойчивости систем произвольного порядка. Гурвиц опубликовал свой критерий в 1895 г. [84].

Неизвестно, знал ли Гурвиц о работе Рауса. Возможно, что не знал, хотя трудно представить, чтобы математик мог не заметить подобной публикации. Возможно, однако, что, зная о работе, Гурвиц считал, что принципиальное решение этой проблемы уже в те времена было дано и связывалось с более знаменитыми именами. Он писал: «Хотя решение этого вопроса методами Штурма, Лиувилля, Коши и Эрмита не представляет особых трудностей, и хочу сообщить о своих результатах, которые, возможно, представят некоторый интерес для приложений благодаря своей простой форме».

Метод Рауса казался, видимо, более трудным для запоминания и более сложным. По-настоящему он был оценен лишь во второй половине нашего века. Современникам Рауса и Гурвица более импонировала замкнутая,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

детерминантная форма Гурвица, а в век вычислительном техники более импонирует алгоритмическая форма Рауса, тем более, что при использовании алгоритма Рауса для уравнений высоких порядков больше экономится время.