Агрегирование и декомпозиция структурных схем.

Операция агрегирования состоит в замене нескольких уравнений, звеньев

или ребер одним, в результате чего число переменных уменьшается, вид схемы упрощается, но порядок уравнения повышается и соответственно звено усложняется.

Для агрегирования используются правила основных типов соединений звеньев.

Последовательность звеньев, соединенных так, что выход каждого из них, за исключением одного (последнего), соединен со входом одного последующего звена и только с ним, образует разомкнутую цепь (рис. 2-6). Этот вид соединения называется последовательным.

Рис. 2-6.

Если последовательно соединены стационарных линейных звеньев с сосредоточенными параметрами с передаточными функциями то изображения выходных переменных звеньев будут (аргументы опущены):

откуда

Группу последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев. Этим свойством уже не обладают нестационарные и нелинейные звенья. Им обладают не все виды линейных стационарных звеньев с распределенными параметрами.

Другой распространенный вид соединения — параллельное, при котором входные величины всех звеньев или ребер

одинаковы, а выходные величины суммируются (рис. 2-7). Группу параллельно соединенных звеньев (ребер) можно заменить одним звеном (ребром) с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций отдельных звеньев (ребер):

Следующий распространенный вид соединения — встречно-параллельное или обратное связывание, образующее замкнутый контур (рис. 2-8).

Рис. 2-7.

Рис. 2-8.

Рис. 2-9.

Точки входа и выхода обозначены соответственно А и В. В частности, таким видом соединения можно представить системы регулирования по отклонению. В них звено с передаточной функцией рассматривается как объект, а звено с передаточной функцией — как регулятор (или главная отрицательная обратная связь). На рис. 2-9 показана схема, для которой выводятся наиболее употребительные соотношения. Пусть х — регулируемая величина. В системе автоматической стабилизации [или автоматического

поддержания заданного закона регулирования ошибка принимается равной .

Для этой схемы справедливы уравнения

Функция

является передаточной функцией ошибки по задающему воздействию, т. е. ошибки воспроизведения. Функция

является передаточной функцией ошибки по возмущению, а функция

— передаточной функцией регулируемой величины по возмущению. Она равна передаточной функции ошибки по возмущению. Функция

является передаточной функцией регулируемой величины по задающему воздействию, т. е. передаточной функцией воспроизведения.

В этих формулах -передаточная функция разомкнутой системы. Схема показана для отрицательной обратной связи; в случае положительной обратной связи в знаменателях приведенных передаточных функций будет выражение

Для многосвязной системы с несколькими регуляторами можно составить соответствующие матричные уравнения.

Для случая стабилизации, когда задающее воздействие постоянно, а его отклонение, следовательно, равно нулю, уравнение -связного объекта, управляемого регуляторами, часто приводят к виду

где изображение вектора регулируемой величины (выход объекта; изображение вектора управлений (выхода регулятора); изображение возмущений; -передаточная матрица объекта по управлениям; возмущениям; соответственно передаточные матрицы регуляторов по отклонениям и возмущениям, если рассматривается комбинированное регулирование. Если же регуляторы работают только по отклонениям, то в уравнениях (2-57) полагают Подставив из второго уравнения (2-57) в первое, после несложных преобразований получим:

где Е — единичная матрица. Умножив слева на обратную матрицу получим:

Передаточная матрица замкнутой системы для отклонений относительно возмущений с

где знак присоединенной матрицы.

Для объединения произвольной группы ребер графа Мейсоном [90] была получена формула для передаточной функции между двумя произвольными вершинами графа А и В.

Назовем прямым путем между двумя заданными вершинами непрерывную последовательность ветвей одного направления, при прохождении которой каждая вершина встречается не более 1 раза. Искомая передаточная функция

где — число прямых путей между вершинами — передаточная функция прямого пути, равная произведению передаточных функций входящих в этот путь ребер;

— определитель графа; минор определителя графа, получающийся путем удаления всех ребер и вершин, лежащих на пути, а также всех ребер, входящих и исходящих из этих вершин.

Определитель находится по формуле

где — передаточные функции различных контуров; — произведения передаточных функций несоприкасающихся пар

контуров; произведения передаточных функций несоприкасающихся троек контуров и т. д.

Так, граф, изображенный на рис. 2-10, а, имеет между вершинами А и В три прямых пути и шесть контуров (обозначенных прерывистыми линиями). Передаточные функции прямых путей

Рис. 2-10.

Передаточные функции контуров

Определитель графа

Для нахождения минора исключим первый прямой путь (рис. 2-10, б). Тогда остаются только контуры

После исключения второго пути (рис. 2-10, в) получим:

Исключение третьего пути дает также контур поэтому

Подставив найденные выражения в (2-59), найдем

Нетрудно видеть, что определитель графа инвариантен по отношению к точкам, между которыми ищется передаточная функция, напоминая тем самым выражения в формулах (2-54) — (2-56) и в выражении передаточной матрицы (2-58).