5-4. КРИТЕРИИ РАУСА И ГУРВИЦА

Критерии Рауса и Гурвица представляют собой математическое выражение необходимых и достаточных условий отрицательности всех вещественных частей корней уравнения степени с постоянными вещественными коэффициентами

Так как эти же условия необходимы и достаточны для устойчивости линейной стационарной системы с сосредоточенными параметрами и характеристическим уравнением (5-31), то условия Рауса и Гурвица называют также условиями устойчивости линейных систем данного класса.

Эти условия выражаются с помощью алгебраических неравенств, связывающих значения коэффициентов уравнения (5-31), и поэтому относятся к группе алгебраических критериев. Они позволяют определять расположение корней полинома в плоскости комплексной переменной относительно мнимой оси, не прибегая к нахождению самих корней, что весьма существенно для приложений, так как корни уравнений выше четвертой степени не выражаются через коэффициенты посредством алгебраических соотношений и могут быть найдены лишь численно (практически даже корни уравнений третьей и четвертой степеней предпочитают определять не по формулам Кардано, Декарта — Эйлера или Феррари, а более простыми численными методами). При этом в процессе численных расчетов с итерациями обычно полностью утрачивается представление о влиянии исходных параметров на значение и характер корней.

В дальнейшем для краткости корни с отрицательными вещественными частями будем называть левыми корнями, с положительными частями — правыми корнями.

При формулировке и использовании критериев устойчивости будем считать коэффициент в старшем члене полинома положительным: . Это не снижает общности, так как уравнение с приводится к уравнению с путем умножения его левой части на —1.