8-2. СИНТЕЗ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПОЛЮСОВ И НУЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Методы синтеза по распределению полюсов и нулей передаточной функции, как правило, применяются тогда, когда число полюсов не превышает трех-четырех, т. е. для уравнений невысоких порядков. Сложные системы этими методами синтезируются обычно тогда, когда переходные процессы в них определяются в основном небольшим числом доминирующих полюсов и нулей, ближе расположенных к мнимой оси, а влияние остальных, более удаленных, полюсов невелико, и при первоначальном синтезе их можно исключить. Чтобы оценить, можно ли синтезировать таким образом данную сложную систему, надо предварительно рассмотреть передаточную функцию замкнутой нескорректированной (но стабилизированной) системы и либо, численно вычислив или оценив корни ее характеристического уравнения, установить, можно ли из них выделить доминирующие, либо рассмотреть, нельзя ли представить уравнение системы в виде

где — «малый параметр», а полиномы и имеют порядок не выше четвертого. В этом случае, когда это возможно, рассматривают вместо исходной замещающую систему, описываемую вырожденным уравнением

и передаточной функцией

При выделении доминирующих полюсов можно руководствоваться правилом, что если расстояние корня от мнимой оси в 6 раз и более превышает расстояние корня от мнимой оси, то корень является доминирующим, а корень можно в первом приближении отбросить. Точно так же можно считать компенсирующими друг друга и не принимать во внимание те диполи (близко расположенные друг к другу полюс и нуль), у которых модули отличаются не более чем на 5%, а фазы менее чем на 6°. После того, как найдено, что замкнутая нескорректированная система имеет небольшое число доминирующих нулей и полюсов, вводится предположение, что в результате коррекции число доминирующих корней сохранится, но их расположение на плоскости с помощью корректирующих цепей будет приближено к желаемому. Эффективность сделанных допущений зависит от инженерной интуиции исследователя. Очевидно, что окончательный результат синтеза требует более точной проверки качества процессов в полученной системе.

Желаемое распределение полюсов и нулей устанавливают по заданным прямым показателям качества. Рассмотрим несколько основных простейших случаев определения желаемого распределения доминирующих корней исходя из условий, чтобы время регулирования и перерегулирование при воздействии единичной ступенчатой функции не превышали заданных значений

1. Доминирует один вещественный полюс. Нули отсутствуют. Для этих условий передаточная функция замкнутой системы будет

Как следует из (7-19), расстояние полюса от мнимой оси должно удовлетворять неравенству

В этой формуле

представляет собой максимально допустимую относительную ошибку при Если то

т. е. корень должен располагаться в плоскости левее прямой параллельной мнимой оси.

2. Доминирует один вещественный полюс и имеется один нуль. Пусть удаления полюса и нуля от мнимой оси

соответственно равны причем может быть и положительным и отрицательным. Передаточная функция

Переходная функция

требуется, чтобы

при

Если задано отношение то

Для разных значений у имеем следующие значения при :

Из рассмотрения этих данных можно видеть, что при совпадении полюса и нуля, т. е. при их действие полностью взаимно компенсируется, система ведет себя как безынерционная и поставленное условие выполняется при любом расположении диполя в левой полуплоскости. Когда , т.е. нуль ускоряет процесс и полюс можно приблизить к мнимой оси. При т. е. при преобладании воздействия по производной, нуль начинает замедлять процесс, и по мере приближения нуля к началу координат, это замедление неограниченно возрастает. При отрицательных значение становится более трех, и отрицательные значения обычно для коррекции не используются.

3. Доминирует пара комплексных полюсов. Нули отсутствуют. Замещающая система — колебательная, второго порядка. Передаточная функция

Переходная функция

Для удовлетворения требования к быстроте затухания процесса необходимо выполнить неравенство

или

при

где — показатель колебательности процесса.

Для выполнения условия допустимого перерегулирования нужно удовлетворить неравенству

или, так как , то

или

Чтобы удовлетворить обоим условиям (8-13) и (8-14), сначала из (8-14) по заданному допустимому перерегулированию находим максимально допустимый угол для проведенных из начала координат, в полюсы векторов

а затем из (8-13) — минимально допустимое расстояние полюсов от мнимой оси. Полюсы должны располагаться левее прямой, параллельной мнимой оси, на расстоянии от нее и внутри найденного угла

4. Доминирует пара комплексных полюсов и имеется один нуль. Передаточная функция

Переходная функция

Относительное отклонение

Амплитуда относительного отклонения

Внося знаменатель под радикал и учитывая, что при отсутствии нуля амплитуда относительного отклонения

получаем:

Значение возрастает неограниченно, если т. е. если нуль стремится к началу координат. Найдем такое положение нуля, при котором будет наименьшей. Обозначая приравняем нулю производную выражения под радикалом:

тогда

Расстояние пары комплексных корней а от мнимой оси выбираем из условия

Максимальное отклонение найдем из условия

откуда

где — момент времени, при котором имеет место максимум.

Но если нуль выбран так, чтобы обеспечивалась минимальная амплитуда колебательной составляющей, то

Тогда

Рис. 8-1.

Рис. 8-2.

Обозначая получаем по условию ограничения перерегулирования

Зависимость от показана на рис. 8-1. Окончательно выбор желаемого распределения полюсов делаем так: из кривой рис. 8-1 по заданному максимальному перерегулированию находим соответствующую ему допустимую минимальную колебательность и наносим на плоскости два луча под углами образующими угол, внутри которого должны располагаться полюсы; из условия находим прямую, параллельную мнимой оси, левее которой должны лежать полюсы. Допустимая область расположения полюсов показана на рис. 8-2. Выбираем полюсы в этой области. Обычно удаление полюсов от границ приводит к усложнению и удорожанию корректирующих цепей, поэтому целесообразно выбрать, если это ограничение имеет место, полюсы вблизи границ. Установив таким

образом желаемые и а, находим положение нуля из условия минимизации амплитуды

5. Рассмотренные выше простейшие случаи могут быть объединены в один, если произвести следующие преобразования выражения для

Пусть передаточная функция системы, определяемая доминирующими нулями и полюсами (замещающей системы), имеет вид:

Тогда

и

Введем безразмерную переменную . При этом

Введем также безразмерные параметры

Тогда

Применение современной вычислительной техники позволяет построить графики зависимостей от безразмерных параметров . В отличие от пп. 1—4 в данном случае

используются не приближенные оценки, а находятся точные значения а и

На рис. 8-3 показаны графики зависимостей от (при ), а на рис. 8-4 — аналогичные графики для случая Ступенчатыми линиями показаны точные значения а гладкими — огибающие при различных Очевидно, что варианты, рассмотренные в пп. 1—4, получаются как частные случаи из приведенных графиков.

Значения для случая могут быть рассчитаны на ЦВМ по полученным выше формулам, однако

Рис. 8-3. (см. скан)

графики для этого случая не приводятся, так как для трех изменяющихся параметров потребовалось бы привести целую серию графиков.

Графики, показанные на рис. 8-3 и 8-4, могут быть использованы на первом этапе проектирования системы для выбора доминирующих нулей и полюсов. Следует отметить, что так как число безразмерных параметров на две единицы меньше числа

Рис. 8-4. (см. скан)

исходных коэффициентов передаточной функции, для конструктора остается свобода выбора двух параметров.

6. О влиянии недоминирующих полюсов и нулей. Реальная система обычно содержит и недоминирующие полюсы, поэтому рассмотренные ранее способы выбора желаемого распределения корней можно рассматривать как первое приближение. Для последующего уточнения рассмотрим сначала общее выражение для передаточной функции замкнутой статической системы, имеющей левых полюсов (в том числе l пар комплексных) и вещественных отрицательных нулей:

Исследуем выражение относительной переходной функции

Очевидно, что

Амплитуды колебательных составляющих определятся через полюсы и нули с помощью разложения Хевисайда

отсюда

Коэффициенты при апериодических составляющих равны:

Выражения (8-15) и (8-16) отличаются от полученных в §7-2 выражений (7-16) тем, что в них представляет собой вещественную амплитуду для пары составляющих с сопряженными комплексными полюсами, и тем, что значения выражены через вещественные -мнимые части полюсов.

Из рассмотрения (8-15) и (8-16) можно сделать следующие выводы.

Если нуль расположенный правее рассматриваемого полюса приближается к началу координат, то неограниченно возрастают. Однако этот вывод нельзя применять к астатическим системам. Когда совпадет с началом координат, в числителе передаточной функции замкнутой системы появится множитель и система станет астатической. Так как при этом пользоваться относительной переходной функцией теперь нельзя и надо исследовать. При этом, поскольку в реальной системе нельзя по своему произволу менять отдельные нули или полюсы, не изменяя при этом остальных, а фактически изменяются те или иные параметры, от которых зависят и нули и полюсы, а также К, перед исследованием сначала необходимо выразить К через .

Если нуль расположенный справа от рассматриваемого полюса приближается к этому полюсу, то убывают. При совпадении нуля с вещественным полюсом обращается в нуль, т. е. нуль и полюс взаимно компенсируются. При совпадении нуля с вещественной частью комплексного полюса влияние полюса компенсируется лишь частично. Уменьшение минимума, как это следует из рассмотренного выше случая 4, происходит не при совпадении и а, а вблизи него.

Если нуль — расположенный слева от удаляется в отрицательную бесконечность, несколько возрастают, но до конечной величины, поскольку множители, содержащие в (8-15) и (8-16), стремятся при этом к единице.

Сближение двух вещественных полюсов приводит к возрастанию до конечной величины, до бесконечности, но в предельном случае появления кратных корней исходное разложение Хевисайда для простых корней становится несправедливым. При сближении пар комплексных полюсов также происходит возрастание причем случай полного совпадения, строго говоря, требует использования специального разложения Хевисайда для кратных полюсов.

7. Доминирует пара комплексных полюсов, недоминирующие полюсы вещественны. Приведенные ранее выводы для общего случая трудно использовать в целях количественной оценки. Покажем, как это можно сделать, если имеется только одна пара доминирующих комплексных полюсов. Формулы (8-15) и (8-16) при этом примут вид:

Для количественной оценки сделаем предположение, что максимум кривой имеет место в то же время что и максимум доминирующей колебательной составляющей. Это вносит, конечно, некоторую ошибку, но зато существенно облегчает исследование. Время первого максимума колебательной составляющей найдем из условия

Отсюда получим:

Максимальный выброс относительной колебательной составляющей при этом будет:

Приближенное значение перерегулирования

Перерегулирование растет при уменьшении декремента затухания при приближении нулей к началу координат и при удалении от него недоминирующих полюсов. Последнее обстоятельство дает в ряде случаев основание ограничивать не только минимальное, но и максимальное расстояние полюсов от мнимой оси. Допустимое максимальное удаление можно либо установить из расчетов и а, либо, если это сложно, ориентировочно выбрать расстояние от мнимой оси до наиболее удаленных полюсов в 5—6 раз большим расстояния до ближайшего полюса.

По как и прежде, выбирается допустимая колебательность а минимальное удаление от мнимой оси доминирующих полюсов по формулам

если доминируют комплексные полюсы, и

если к мнимой оси расположен ближе вещественный полюс Значения находятся или из формул (8-17) и (8-18), или из графической картины расположения полюсов и нулей. Тогда множители находятся из графика непосредственно, а радикалы, содержащие или соответственно равны модулям векторов, проведенных в данный полюс — из нулей или полюсов —

Примеры синтеза с помощью корневых годографов.

По желаемому распределению полюсов и нулей сразу находится передаточная функция замкнутой системы. Нахождение по ней и по передаточной функции неизменяемой части передаточной функции корректирующей цепи обычно наиболее удобно выполнять по логарифмическим частотным характеристикам, но в ряде случаев синтез несложно выполняется и по корневым годографам. Приведем несколько примеров.

Последовательная коррекция. Пусть неизменяемая часть системы имеет передаточную функцию

Требуется подобрать последовательное корректирующее звено (рис. 8-5, а) так, чтобы коэффициент добротности К был порядка а перерегулирование не превышало 30%.

Зададим передаточную функцию корректирующего звена в виде

Пример схемы такого звена показан на рис. 8-5, б. В этой схеме

Сначала рассмотрим нескорректированную замкнутую систему, но с изменяемым коэффициентом К и передаточной функцией

Рис. 8-5.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

приведем в форме

где . В данном случае

При построении корневого годографа для приведенной системы задаемся различными значениями вещественного корня: . Когда задано, К легко вычислить: . Разделив (8-24) на получим квадратное уравнение, из которого найдем два остальных корня. На рис. 8-6 показан корневой годограф. Он пересекает мнимую ось при значениях со и К, определяемых из уравнений -разбиения:

На рис. 8-7 показаны переходные процессы (относительные) в нескорректированной системе при нулевых начальных условиях. Из графиков следует, что перерегулированию соответствует при этом Остальные два корня комплексные:

Таким образом, если в нескорректированной системе перерегулирование не превышает 28%, то коэффициент добротности будет в 11 раз (или более) меньше, чем. желаемый.

Подберем корректирующий контур так, чтобы при он мало влиял на корневой годограф и, следовательно, на относительную переходную составляющую, но позволял бы получить требуемую добротность. Выберем для этого а и так, чтобы они по модулю были на порядок меньше наименьшего модуля корней уравнения (8-24), a равнялось бы , т. е. Тогда нуль и полюс, вносимые и соответственно равные —0,1 и —1/110, близки к началу координат, мало влияют на годограф и на относительную переходную составляющую, но при этом позволяют увеличить коэффициент передачи в раз.

Рис. 8-6.

Последовательная опережающая дифференцирующая коррекция. Предыдущее корректирующее звено относится к типу интегрирующих, поскольку постоянная времени в знаменателе больше, чем в числителе. Рассмотрим теперь корректирующее звено с передаточной функцией

где т. е. относящееся к типу дифференцирующих.

Пример схемы показан на рис. 8-5, в, где

Сначала проследим влияние идеального дифференцирующего звена с передаточной функцией

На рис. 8-8, а показан пример корневого годографа нескорректированной системы, на рис. 8-8, б — действие коррекции. Коррекция внесла дополнительный нуль, в котором

заканчивается ветвь, исходящая из полюса в начале координат и уходившая ранее в отрицательную бесконечность. Соответственно асимптоты годографа, исходящие из комплексных полюсов, теперь совпали с прямой, параллельной мнимой оси и удаленной от полюсов на расстояние Уход полюсов в правую полуплоскость тем самым предотвращен. Но наличие знаменателя в передаточной функции неидеального корректирующего звена приводит к появлению на вещественной оси дополнительного полюса слева от —а, т. е. полюса , следовательно, дополнительной ветви годографа, выходящей из этого полюса и удаляющейся по отрицательной вещественной полуоси в бесконечность.

Рис. 8-7. (см. скан)

Асимптоты ветвей, исходящих из комплексных полюсов, теперь будут наклонены к вещественной оси под углами ±60° (рис. 8-8, в). Влияние нуля —а скажется в том, что начальная часть этих ветвей будет изогнута по направлению от вещественной оси и переход полюсов в правую полуплоскость произойдет при больших значениях К.

Следует отметить: для комплексных полюсов обычно при такой коррекции затухание получается недостаточным, что не позволяет значительно повысить добротность. Дифференцирующая коррекция более эффективна при наличии в разомкнутой системе трех вещественных полюсов. Рассмотрим этот случай. Приведем сначала некоторые предварительные соображения. Введение чистой производной в цепь последовательной коррекции приводит к повороту всех векторов частотной

характеристики в комплексной плоскости против часовой стрелки на 90°. Выберем передаточную функцию корректирующего звена так, чтобы при существенных частотах поворот был близок к 90°. Геометрическое место точек в плоскости s, для которых этот угол прямой, — окружность с диаметром на вещественной оси, концы которого лежат в нуле и полюсе передаточной функции корректирующего звена.

Рис. 8-8.

Рис. 8-9.

В самом деле, если какая-либо из точек этой полуокружности будет полюсом передаточной функции замкнутой системы, то векторы, проведенные в нее из нуля и полюса в концах диаметра, образуют угол 90° (рис. 8-9,а). Но эти векторы, как было показано в § 7-2, изображают числитель и знаменатель передаточной функции. Можно построить геометрические места для линий равных угловых упреждений, отличающихся от 90°; это также будут окружности, проходящие через исходные нуль и полюс, но центры их будут смещены по вертикали. На рис. 8-9, а показана штриховой линией окружность для фазового сдвига векторов +60°. Далее будет рассмотрено построение для

угла 90°. Построение для других углов не встретит принципиальных трудностей и будет сходным.

Пусть передаточная функция нескорректированной системы

т. е. имеются три вещественных полюса

Передаточная функция корректирующего звена

т. е. имеется нуль и полюс . Проведем из начала координат луч касательный к окружности (рис. 8-9,а). Если полюс движется вдоль луча, то колебательность остается постоянной: Пусть из условий допустимого перерегулирования для доминирующих полюсов определено, что не должно превышать значения Нетрудно показать, что тогда . Эти соотношения и можно предложить для выбора желаемого расположения нуля (точка А) и полюса (точка В) дифференцирующего контура.

Построение выполняем так. Наносим полюсы проводим луч под углом к отрицательной вещественной полуоси. Так как в комплексном полюсе разность фазовых углов векторов, проведенных из нуля и полюса передаточной функции по условию равна 90°, то сумма остальных фазовых углов должна равняться . С помощью транспортира или спируля проверяем сумму фазовых углов, проведенных из точек в различные точки луча, и находим точку, где эта сумма становится равной 270°. Эта точка и будет комплексным полюсом замкнутой системы, удовлетворяющим поставленным условиям. Определив вещественную часть этого полюса, далее выбираем:

На рисунках процесс построения не показан. На рис. 8-9, б изображен лишь конечный результат — корневой годограф.

Ряд интересных примеров по использованию корневых годографов можно найти в [59, 79, 81, 100].

Нахождение передаточной функции разомкнутой системы.

Чтобы найти передаточную функцию корректирующего устройства по заданной передаточной функции неизменяемой части системы и найденной передаточной функции желаемой системы, обычно целесообразно найти предварительно желаемую передаточную функцию разомкнутой системы, причем сразу разложенную на простейшие множители,

Для довольно широкого класса систем это часто удается сделать графически. В частности, задача решается просто, если искомая передаточная функция имеет только одну пару комплексных полюсов и если связь между передаточными функциями разомкнутой и замкнутой систем имеет вид:

Числители обеих передаточных функций одинаковы, следовательно, эти функции имеют общие нули. Для нахождения полюсов выпишем равенство

откуда

Построим графики функций вещественной переменной . Разность ординат этих функций равна . В точках пересечения графиков следовательно, те значения в которых происходит пересечение кривых, и являются вещественными полюсами полинома т. е. искомыми вещественными полюсами передаточной функции разомкнутой системы.

Комплексные полюсы найдем, выполнив алгебраическое деление на . В результате получаем полином степени корни которого и являются искомыми комплексными полюсами.

Задача легко решается, если т. е. если остаточное уравнение квадратное.