3-2. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В теории управления большое распространение получили частотные методы, основанные на изучении характеристик систем при синусоидальных внешних воздействиях одной частоты (гармонических воздействиях)
где 
— угловая частота; 
амплитуда; 
— фаза.
Для любой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при воздействии вида (3-31), если только 
не является корнем ее характеристического уравнения, существует единственное частное решение
и если система устойчива, то это частное решение и выражает установившееся движение в системе.
Исследование движений в системах с гармоническими воздействиями значительно удобнее выполнять, если вместо тригонометрических использовать комплексные гармонические функции
Метод комплексных гармонических функций широко распространен во многих инженерных дисциплинах (электротехнике, механике и др.) и не нуждается в детальном обосновании. Функции (3-31) и (3-32) удовлетворяют исходной системе уравнений тогда и только тогда, когда ей удовлетворяют и гармонические функции (3-33). Искомые параметры Б и 
выражаются через параметры А и 
при этом одинаково в обоих случаях.
Передаточная функция линейной системы или звена при мнимом значении ее аргумента 
называется комплексной частотной или просто частотной характеристикой системы (звена). Так, для звена с дифференциальным уравнением
частотная характеристика
В соответствии с (2-43), если учитывать, что 
при 
т. е. частотная характеристика является преобразованием Фурье для импульсной переходной (весовой) функции системы (звена). Следует отметить, что для неустойчивой системы интеграл 
будет расходящимся и определять частотную характеристику такой системы по формуле (3-36) нельзя. Заметим еще, что фазы 
зависят от выбора начала отсчета времени и там, где этот выбор несуществен, удобно принять 
Тогда
Этими выражениями и будем пользоваться в дальнейшем.
Аналогично можно показать, что в результате подстановки (3-33) в уравнение (3-34) получим для каждого 
Сокращаем на 
Отсюда
или
т. е. модуль частотной характеристики равен отношению амплитуд выходной и входной гармонических величин, а ее аргумент — сдвигу фаз между ними. Эти зависимости удобно использовать: 1) для вычисления параметров выходных колебаний по заданной передаточной функции; 2) для графоаналитического нахождения их по имеющемуся графику частотной характеристики; 3) для экспериментального нахождения частотной характеристики, если математическое описание звена неизвестно или слишком сложно.
