5-2. ТЕОРЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА

Теоремы об устойчивости.

В теории устойчивости исключительно большое значение имеет «прямой метод» А. М Ляпунова, основывающийся на использовании функций Ляпунова. Это — общий метод, применимый к большому классу нелинейных систем и, конечно, к линейным системам. Правда, в линейной теории при исследовании устойчивости прямой метод Ляпунова на практике не используется, так как для линейных систем разработаны значительно более удобные необходимые и достаточные критерии устойчивости. Но линейная система в подавляющем большинстве случаев получается в результате линеаризации характеристик исходной нелинейной системы, т. е. является ее приближенной моделью, и возникает вопрос — правомерно ли переносить выводы об устойчивости линейной системы на исходную нелинейную систему, когда и в какой мере это справедливо?

Прямой метод Ляпунова дает возможность обосновать правомерность такого суждения. С его помощью устанавливается следующее важное утверждение: если все корни характеристического уравнения линейной модели расположены не на мнимой оси, то устойчивость линейной модели влечет за собой устойчивость равновесия в точке линеаризации при малых отклонениях нелинейной модели. При наличии особенностей на мнимой оси требуется дополнительное исследование.

Поэтому изложение теории устойчивости целесообразно начать со знакомства с основными положениями второго метода Ляпунова.

Определение. Положительно-определенная в некоторой открытой области функция производная по времени которой силу уравнений (5-1) в этой области

всегда отрицательна называется функцией Ляпунова также будет функцией Ляпунова, если

Теорема 1. (Теорема Ляпунова об устойчивости.) Если дифференциальные уравнения (5-1) возмущенного движения таковы, что в некоторой окрестности начала координат существует функция Ляпунова то равновесие в начале координат устойчиво.

Теорема 2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.) Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функция определенно отрицательна, то равновесие в начале координат асимптотически устойчиво.

Доказательство. Пусть внутри сферы в пространстве X условия Коши — Липшица для функций в уравнениях (5-1) удовлетворяются. Построим внутри сферы сферу где — любое наперед заданное положительное число, меньшее . В соответствии с теоремой Больцано ограниченное множество в -мерном евклидовом пространстве компактно, поэтому сфера компактна. Так как непрерывный функционал, - заданный на компактном множестве, ограничен и достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней границ, то функция имеет на сфере минимум. Пусть этот минимум равен I. В силу определенной положительности функции Для всех точек сферы будет Но функция непрерывна и обращается в нуль только в начале координат, поэтому существует такое достаточно малое положительное что для всех х в сферической области

Рассмотрим траекторию для начинающуюся из произвольной точки внутри сферы Очевидно, Тогда, так как отрицательна, то вдоль траектории или убывает, или неизменна там, где поэтому траектория никогда не сможет достичь поверхности сферы т. е. остается внутри этой области при любых . В соответствии с определением устойчивости начало координат устойчиво.

Более наглядно, хотя и нестрого, геометрическое доказательство. Приведем его.

Если представляет собой уравнение замкнутой поверхности в пространстве X, то поверхность целиком находится внутри поверхности если Выберем С настолько малым, чтобы поверхность лежала внутри сферы Так как в любой точке поверхности вдоль траектории, проходящей через эту точку, не возрастает, то траектория может или пересекать поверхность в направлении убывания С, т. е. снаружи внутрь, либо оставаться на поверхности там, где Таким образом, любая траектория, начавшаяся внутри поверхности или на ней, не сможет выйти за ее пределы.

Нестрогость доказательства связана с тем, что поверхности предполагаются замкнутыми, в то время как существуют такие знакоопределенные функции, для которых не представляют замкнутых поверхностей, если С превышает некоторое значение зависящее от вида функции Так, например, функция

изображается двумя несоприкасающимися ветвями, если

Если определенно отрицательна, то функция вдоль траектории только убывает и траектория стремится к той точке, в которой т. е. к началу координат. Движение асимптотически устойчиво.

Если найдена определенно положительная функция которая в некоторой окрестности начала координат и является функцией Ляпунова, то этого достаточно для устойчивости равновесия в области Однако это условие не необходимо, и если окажется, что построенная в некоторых подобластях области имеет положительную производную а в некоторых — отрицательную, это еще не говорит о том, что равновесие неустойчиво, и указывает лишь на то, что функцию Ляпунова пока построить не удалось.

В связи с этим при исследовании могут оказаться весьма полезными теоремы о неустойчивости.

Теоремы о неустойчивости.

Теорема 1. Если функция -непрерывна и имеет все непрерывные частные производные первого порядка в окрестности начала координат, — положительно определенная функция, а сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых принимает положительные значения, то начало координат неустойчиво.

В самом деле, выберем вблизи начала координат, там, где произвольную точку Так как по условию V определенно положительно вдоль всей траектории в то на траектории, исходящей из будет неограниченно возрастать и траектория неизбежно выйдет на границу

Без доказательства приведем формулировку второй теоремы Ляпунова о неустойчивости.

Теорема 2. Если свойства те же, что и в теореме первой, где неотрицательная функция в то начало координат неустойчиво.

Теорема Н. Г. Четаева о неустойчивости. Пусть в окрестности начала координат в которой выделяется сфера допустимых отклонений заданы область и функция такие, что: 1) функция и ее частные производные

первого порядка непрерывны в на той части границы области которая лежит внутри функции положительны в начало координат является граничной точкой тогда равновесие в начале координат неустойчиво.

На рис. 5-4 показаны окрестность сфера (штриховой линией) и область (заштрихована). Граничная кривая области внутри совпадает с кривой . В области показаны также кривые По мере удаления от границы значения С возрастают. Начало координат расположено на границе и поэтому можно выбрать произвольно близко от него начальную точку

В силу положительности изображающая точка при будет перемещаться из точки по траектории только в направлении возрастания С, т. е. удаляясь от границы и обязательно достигнет при поставленных условиях границы т. е. выйдет за пределы сферы что и указывает на неустойчивость равновесия.

Рис. 5-4.

Устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова).

А. М. Ляпунов решил исключительно важный вопрос, когда и как устойчивость равновесия можно оценивать по линеаризованным уравнениям нелинейных систем, т. е. по уравнениям первого приближения.

Пусть в результате линеаризации уравнений (5-1) путем разложения функций в ряды Тейлора получены уравнения возмущенного движения в виде

где — постоянные коэффициенты; — нелинейные части рядов Тейлора, представляющие собой голоморфные функции (имеющие все непрерывные частные производные по своим аргументам), начинающиеся с членов не ниже второго порядка.

Теорема Ляпунова. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения, составленного для уравнений первого приближения

отрицательны, то невозмущенное движение в исходной

нелинейной системе асимптотически устойчиво независимо от вида членов

Доказательство проведем для случая, когда все корни — простые (отличные от нуля и неравные друг другу).

Будем искать линейную форму переменных вида

которая удовлетворяла бы условию

где — постоянная. Для отыскания коэффициентов формы подставим (5-4) в (5-5). Так как получаем

Переменные независимы, и равенство может выполняться лишь при обращении в нуль коэффициентов при каждом из . Отсюда

Уравнения совместны, если определитель системы

Но это и есть характеристическое уравнение для системы (5-3). Итак, — корень характеристического уравнения. Поскольку корней , найдем значений функций Комплексным сопряженным корням будут соответствовать сопряженные значения функций Составим далее функцию

Если при этом окажется вещественной, возьмем вместо квадрат — положительно определенная функция. Ее производная

Подставляя сюда значения из уравнений (5-3) и учитывая (5-5), в конечном итоге получаем:

где — вещественные части корней.

Для нелинейных уравнений (5-2) получим:

Отсюда следует, что при достаточно малых отклонениях, когда малыми высшего порядка можно пренебречь, устойчивость определяется только первым членом последнего выражения, а из (5-6) вытекает, что функция Ляпунова линейной системы существует при всех отрицательных Таким образом, для случая простых корней теорема Ляпунова доказана и одновременно указан полезный способ построения функций Ляпунова для линейных систем.

Доказательство можно распространить на случаи кратных корней, отличных от нуля. Оно не распространяется на критические случаи, когда часть корней нулевые или чисто мнимые, а остальные имеют отрицательные вещественные части. В таких критических случаях на устойчивость могут оказать влияние нелинейные члены Эти случаи требуют дополнительного исследования.

Приведем без доказательства важную теорему о неустойчивости.

Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то невозмущенное движение (начало координат) неустойчиво независимо от вида функций Это дает основание в случаях, когда уравнение линейного приближения дает неустойчивое решение, сделать вывод и о неустойчивости движения в нелинейной системе.

Из сказанного можно сделать следующие выводы.

1. Для устойчивости невозмущенных движений в стационарных линейных системах необходимо и достаточно, чтобы все корни их характеристических уравнений имели отрицательные вещественные части. Это относится к любому частному решению. Решение уравнения в устойчивом случае всегда с течением

времени стремится к частному решению. Это обстоятельство оправдывает в какой-то степени применение термина «устойчивая система», если речь идет о линейной системе.

2. При наличии хотя бы одного корня с положительной вещественной частью движение в линейной системе неустойчиво.

3. При наличии одного нулевого корня и отрицательных вещественных частей у всех остальных корней движение нейтрально устойчиво. В этом случае уравнение имеет вид , где — полином, не имеющий нулевых корней. Обозначив найдем частное решение для где А — любая постоянная величина, т. е. равновесие безразлично.

4. При наличии двух или более нулевых корней равновесие неустойчиво, даже если все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Например, в случае нулевого корня кратности два частное решение неограниченно возрастает с увеличением

5. При наличии пары чисто мнимых корней и только отрицательных вещественных частей у остальных корней в системе после переходного процесса устанавливается незатухающее колебательное движение с частотой и амплитудой, зависящей от величины начального возмущения.