5-3. ИЗОБРАЖЕНИЕ СВОБОДНЫХ ДВИЖЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Пространство состояний, построенное для уравнений
называют часто фазовым пространством. Координаты точки в трехмерном фазовом пространстве представляют собой перемещение, скорость и ускорение, т. е. фазы движения. В n-мерном пространстве на высшие производные до 
включительно также распространяют название фаз и само многомерное пространство также называют фазовым.
Совокупность всех фазовых траекторий свободного движения в фазовой плоскости называется фазовым портретом системы.
Рассмотрим фазовые портреты линейных систем, описываемых уравнением второго порядка
Классический пример такой системы — масса на пружинном подвесе, движущаяся в вязкой среде, 
представляет собой силу пружины, 
— силу трения в вязкой среде.
Обозначим 
Тогда уравнение (5-8) запишется в форме (5-7) так:
Уравнение фазовой траектории в дифференциальной форме
Отметим основные свойства фазовых траекторий на плоскости.
1. Общее свойство траекторий в пространстве состояний — единственность траектории, проходящей через любую неособую точку, справедливо и для фазовых траекторий, если 
удовлетворяет условиям Коши — Липшица. Для линейной системы (5-9) оно имеет силу во всей фазовой плоскости, за исключением особой точки в начале координат.
2. Так как при 
переменная 
возрастает при возрастании 
то фазовые траектории направлены в верхней полуплоскости слева направо, в нижней справа налево. Это справедливо и для нелинейных систем.
3. Система имеет единственное состояние равновесия 
4. При 
т. е. при пересечении с осью 
угловые коэффициенты (исключая точку 
бесконечно велики и фазовые траектории пересекают ось абсцисс 
под прямым углом снизу вверх в левой полуплоскости и сверху вниз в правой. Это свойство справедливо и для нелинейных систем.
Из теоремы Ляпунова об устойчивости линейного приближения вытекает, что существует функция Ляпунова, найденная так, чтобы удовлетворялись уравнения (5-5), когда равновесие устойчиво, и существование такой функции необходимо и достаточно для устойчивости. Укажем две такие функции для уравнения второго порядка
Их производные по времени
