5-6. КРИТЕРИЙ А. В. МИХАЙЛОВА

Пусть характеристическое уравнение исследуемой замкнутой системы имеет вид:

Кривой Михайлова называют график функции

Вещественная и мнимая части

называются соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова.

Исследуем характер кривой в комплексной плоскости . Разложим на множители , где — корни характеристического уравнения. Нанесем в комплексной плоскости точку соответствующую корню и рассмотрим, как будет вести себя вектор при увеличении частоты от до Из рис. 5-16 видно, что При изменении частоты от до начало вектора остается в точке а конец перемещается снизу вверх по всей мнимой оси, в результате чего вектор поворачивается на угол против часовой стрелки, если корень расположен слева от мнимой оси, и по часовой стрелке, если корень правый.

Отобразим мнимую ось в плоскость Приращение аргумента вектора при увеличении со от до будет равно сумме приращений аргументов сомножителей, т. е. сумме углов поворота векторов

Пусть полином имеет правых и левых корней и не имеет корней на мнимой оси. Из сказанного следует, что при этом приращение аргумента вектора будет:

Так как кривая симметрична относительно действительной оси, достаточно построить одну ее половину,

соответствующую положительным . Очевидно, что при изменении частоты от 0 до приращение аргумента теперь будет вдвое меньше:

В самом деле, каждый из векторов соответствующих вещественным корням, повернется теперь на угол или а векторы соответствующие паре сопряженных комплексных корней, — один на угол другой — на угол общее же приращение аргумента их произведения будет

Рис. 5-16.

Рис. 5-17.

Из (5-50) следует, что число правых корней полинома

k обращается в нуль, если

Условие (5-51) отсутствия правых корней вне мнимой оси необходимо, но недостаточно для устойчивости. Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корней были левыми, т. е. чтобы среди них не было не только правых корней, но и лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль функцию т. е.

Формулы (5-51) и (5-52) совместно представляют собой математическое выражение критерия Михайлова. Сформулировать его можно так: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова при изменении от 0 до

повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол

Часто формулировку дают в следующей форме: для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова, начав движение с вещественной положительной полуоси и повернувшись против часовой стрелки, прошел последовательно (т. е. в порядке ) n квадрантов плоскости D. При этом вещественная и мнимая координатные оси должны пересекаться поочередно.

Рис. 5-18.

На рис. 5-17 показаны кривые Михайлова для устойчивых систем от до порядка. Для большей наглядности все кривые исходят из одной точки, т. е. всех характеристических уравнений приняты одинаковыми.

На рис. 5-18 приведены примеры годографов неустойчивых систем. График рис. 5-18, а удовлетворяет условиям Михайлова, если уравнение имеет третий порядок. Тогда система устойчива. Если же, например, порядок уравнения седьмой, а вид графика тот же, то система неустойчива, поскольку кривая проходит не через семь, а через три квадранта. На рис. нарушено направление вращения вектора, на рис. 5-18, в нарушено чередование квадрантов, на рис. неправильны и чередование, и число квадрантов.

На рис. 5-18, д и е кривая проходит через начало координат. В этом случае если путем малой деформации годографа

(прерывистая линия на рис. 5-18, д) годограф можно сделать удовлетворяющим условиям Михайлова, то имеется пара чисто мнимых корней, а остальные корни левые и система находится на границе устойчивости. Если же малая деформация не позволяет привести годограф к нужному для устойчивости виду (рис. 5-18, е), то, кроме чисто мнимых корней, есть еще правые, система неустойчива и не находится на границе устойчивости.

При последовательном прохождении кривой Михайлова через квадранты координатной плоскости вещественная и мнимая оси пересекаются ею поочередно, т. е. корни уравнений перемежаются. Условие перемежаемости является необходимым условием устойчивости. Для получения необходимого и достаточного условия его надо дополнить условием правильного направления вращения вектора

Если все коэффициенты полинома положительны, то перемежаемость корней будет необходимым и достаточным условием устойчивости. Для уравнений порядка не выше шестого это обстоятельство позволяет использовать для оценки устойчивости условие перемежаемости, не вычерчивая кривой.

Пример. Дано уравнение

Подставляя отделяем вещественную и мнимую части и приравниваем их порознь нулю:

Не представляет труда найти корни

Если перемежаются корни, то перемежаются и их квадраты, поэтому нахождение и он не обязательно. Кроме того, корни также можно не искать, так как при соблюдении условий чередования знаки ординат функции соответствующие корням должны чередоваться (рис. 5-19). Имеем:

Так как все корни вещественны, знаки ординат соответствующие этим корням, чередуются, а коэффициенты полинома положительны, то система устойчива.

Рис. 5-19.