Корневой годограф.

Будем рассматривать характеристические уравнения, которые приводятся к виду

где К — параметр, линейно входящий в уравнение;

Разложим на множители:

где через обозначены корни полинома а через — корни

Разделим на и обозначим:

Получим:

Уравнению (7-7) можно, в частности, поставить в соответствие эквивалентную структурную схему, в которой имеется линейная часть с передаточной функцией

охваченная единичной отрицательной обратной связью. Для такой эквивалентной схемы корни будут полюсами, а корни — нулями передаточной функции разомкнутой системы.

Приведем уравнение (7-8) к виду

Будем изменять параметр А от 0 до , считая коэффициенты полиномов неизменными. При корни характеристического полинома замкнутой системы совпадают с корнями характеристического полинома разомкнутой системы. При непрерывном возрастании А корни будут

перемешаться в плоскости прочерчивая в ней кривые, совокупность которых называется корневым годографом. Ограничимся рассмотрением годографа при положительных А. При стремлении А к бесконечности ветвей годографа приближаются к корням полинома т. е. к нулям передаточной функции разомкнутой системы, а остальные ветвей удаляются в бесконечность. Поведение в бесконечности можно исследовать с помощью тех или иных приближений.

Как следует из (7-9), при выражение в квадратных скобках также должно беспредельно возрастать, т. е. также стремится к бесконечности. Если в нулевом приближении считать, что при достаточно больших можно сохранить в (7-9) только старший член в квадратных скобках и исследовать уравнение

то

т. е. в бесконечности ветви годографа приближаются к асимптотам, образующим - лучевую симметричную звезду. Однако из уравнения нулевого приближения можно найти только предельные фазы корней, для нахождения же центра пересечения асимптот нужно более точное приближение. Приведем уравнение (7-9) к виду

Если велико, то в левой части уравнения, представляющей собой бесконечный ряд, можно пренебречь членами, содержащими отрицательные степени и считать, что левая часть ведет себя как полином степени имеющий корней. Сумма этих корней по формуле Виета равна коэффициенту при члене, следующему за старшим, т. е.

Сумма вещественна, и центр звезды лежит на вещественной оси. Пусть искомое расстояние центра звезды от начала координат равно (рис. 7-3). Каждый из корней выражается вектором равным геометрической сумме:

где — один из лучей рассматриваемой звезды.

Рис. 7-3.

Сумма всех корней

так как сумма всех лучей симметричной звезды равна нулю:

Сопоставляя (7-10а) и (7-106), получаем:

Приближенное построение корневого годографа, не требующее вычисления значений корней при разных А, можно выполнить, если использовать ряд свойств годографа. Первые три свойства вытекают из сказанного выше.

1. Годограф для положительных А имеет ветвей, исходящих при из полюсов передаточной функции разомкнутой системы. Определение этих полюсов значительно проще, чем корней полинома если разомкнутая система состоит из последовательно включенных типовых звеньев.

2. При ветвей годографа стремятся к корням полинома а остальные ветвей уходят в бесконечность.

3. Асимптоты бесконечных ветвей годографа пересекаются в точке вещественной оси, расстояние которой от начала координат определяется из (7-10), и наклонены к ней под углами

При этом если то оба луча образованной асимптотами звезды лежат на прямой, параллельной мнимой оси; если нечетно, то один из лучей лежит на отрицательной вещественной полуоси.

4. Ветви годографа симметричны относительно вещественной оси.

5. Разность между суммой фазовых углов всех векторов, проведенных в любую точку годографа из полюсов и суммой фаз всех векторов, проведенных в эту же точку из нулей равна .

В самом деле, из (7-9) вытекает:

Обозначая через соответствующие фазовые углы, получаем:

Это основное фазовое уравнение служит для нахождения промежуточных точек годографа. Обычно годограф по основным свойствам наносится сначала от руки грубо, затем его точки с помощью уравнения (7-11) уточняются: измеряются углы и проверяется соотношение (7-11). Если оно не выполнено, точка не принадлежит годографу. Несколько сместив ее, проверяют соотношение снова и так до тех пор, пока не получится допустимо малое расхождение. Ивенсом для ускорения такого построения была разработана специальная линейка — спируль. Описание спируля можно найти в

Из основного фазового уравнения вытекает ряд других свойств.

6. Углы выхода годографа из полюса и вхождения его в нуль определяются равенством (в случае )

где — алгебраическая сумма фазовых углов всех векторов, кроме выходящего из рассматриваемого нуля.

В самом деле, рассмотрим точку на продолжении годографа, сколь угодно близкую, скажем, к нулю. Фазовые углы всех векторов, проведенных в этот нуль из остальных полюсов и нулей, легко измерить. Угол же вектора, проведенного из нуля в рассматриваемую точку, равен углу вхождения годографа в нуль. Тогда из (7-11) следует а отсюда в свою очередь вытекает (7-12). Аналогично доказывается и формула для полюса.

Сказанное поясняется рис. 7-4. Искомый угол выхода годографа из полюса обозначен через Фазовые углы векторов, исходящих из полюсов равны соответственно и

Рис. 7-4.

Рис. 7-5.

угол вектора, исходящего из нуля равен Имеем:

откуда

На рисунке При имеем:

при произвольном

7. Точки «отрыва» годографа от вещественной оси определяются из условий: а) разность между числом полюсов и нулей справа от точки отрыва должна быть нечетным числом; б) сумма приращений фазовых углов векторов, проведенных в точку отрыва из всех нулей и полюсов, должна равняться нулю.

На некоторых участках ветви корневого годографа совпадают с вещественной осью, причем все точки вещественной оси принадлежат либо положительному либо отрицательному годографам. Возьмем некоторую точку на вещественной оси и определим, какому годографу она принадлежит. Проведем через эту точку линию, параллельную мнимой оси (рис. 7-5). Пусть справа от нее расположено а нулей и в полюсов. Вектор, проведенный в точку из каждого вещественного нуля или полюса, лежащего слева от имеет фазу сумма фазовых углов векторов каждой пары комплексных нулей или полюсов слева от также равна нулю, поэтому все лежащие слева от данной линии нули и полюсы можно во внимание не принимать.

Фаза же векторов, проведенных из вещественного нуля или полюса, лежащих справа от равна 180°, а сумма фазовых углов каждой пары расположенных справа комплексных нулей или полюсов равна 360°. Разность фазовых углов векторов, проведенных из нулей и полюсов справа, равна . При нечетных основное фазовое уравнение удовлетворяется и точка принадлежит годографу.

Это правило позволяет установить интервал между вертикалями (линиями, параллельными мнимой оси), проведенными через нули и полюсы разомкнутой системы, на котором происходит отрыв положительной ветви годографа от вещественной оси.

Найдем точку отрыва в этом интервале. Заметим, что в силу Симметрии и непрерывности годограф может пересекать вещественную ось только под прямым углом. Нанесем предполагаемую точку отрыва, проведем через нее вертикаль и рассмотрим точку на вертикали, удаленную от оси на малую величину (рис. 7-5), позволяющую заменить приращения фазовых углов их тангенсами. Чтобы после отрыва точка осталась на годографе

сумма приращений углов должна быть равной нулю. Если координата точки отрыва х, то должно быть

где — вещественные части полюсов; — вещественные части нулей передаточной функции разомкнутой системы. Сокращая на получаем уравнение с одним неизвестным, из которого находится х:

Для случая, изображенного на рис. 7-5,

8. Пересечение годографа с мнимой осью можно найти с помощью одного из критериев устойчивости.

Поскольку при переходе через мнимую ось слева направо устойчивость теряется, представляет интерес найти значение А, при котором это происходит. Нахождение пересечения годографа с мнимой осью удобно выполнять с помощью D-разбиения в плоскости А.

Когда годограф вычерчен, полезно нанести на него отметки — точки, соответствующие различным численным значениям А или К. Для вычисления К можно воспользоваться следующим правилом.

9. Значение К, соответствующее данной точке годографа, равно произведению модулей векторов, проведенных в эту точку из полюсов передаточной функции, разделенному на произведение модулей векторов, проведенных из нулей передаточной функции разомкнутой системы, и умноженному на отношение старших коэффициентов:

Это равенство вытекает из (7-8).

Пример 1. Передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы Наносим полюсы: (начало координат), (рис. 7-6). В этих точках в соответствии со свойством 1 начинаются ветви годографа. Нулей в

передаточной функции разомкнутой системы нет, и в соответствии со свойством 2 все три ветви уходят в бесконечность, причем полюс уходит в бесконечность по вещественной оси влево, два других по свойству 3 приближаются к асимптотам, расположенным под углами и —60° к вещественной оси. Точки пересечения асимптот определятся из уравнения

Рис. 7-6.

Точка отрыва годографа от вещественной оси лежит в соответствии со свойством 7 между полюсами Не координату х найдем из уравнения

Отсюда, решая квадратное уравнение, находим

Применяя к характеристическому уравнению D-разбиение, получаем:

откуда

Вид годографа показан на рис. 7-6. Цифры в кружках указывают значения А для соответствующих точек годографа.

Пример 2. Дана передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы Передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсы и один конечный нуль Одна из ветвей годографа, начинающаяся в начале координат, заканчивается в точке —2 вещественной оси и представляет собой отрезок вещественной оси Три другие ветви уходят в бесконечность: одна — из полюса —3 влево по вещественной оси, две другие из комплексных полюсов приближаются к асимптотам, расположенными под углами и —60° к вещественной оси. Координата точки пересечения асимптот

Рис.

Рис. 7-8.

Найдем углы выхода годографа из комплексных полюсов. На рис. 7-7 показаны углы, образованные векторами, проведенными из нулей и полюсов разомкнутой системы в полюс Они равны: . Отсюда

Вследствие симметрии угол выхода годографа из сопряженного полюса равен

Пересечение годографа с мнимой осью найдем из уравнений D-разбиения:

откуда

Подставив значение в первое из уравнений, найдем Годограф показан на рис. 7-8.