7-4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

Интегральные оценки выражаются определенными интегралами функций координат и их производных по времени. В автоматическом управлении получили распространение оценки с бесконечным верхним пределом интегрирования. Для таких оценок существенно, чтобы подынтегральная функция была исчезающей при Если это не так, значения интегралов (для непериодических функций) с течением времени неограниченно возрастают и оценка теряет смысл. Поэтому в качестве переменных в подынтегральных функциях обычно используются отклонения координат от их установившихся значений или ошибки координат.

Ограничимся рассмотрением наиболее распространенных оценок:

линейных

квадратичных

Интегральная оценка в ряде задач может иметь важный для процесса физический смысл. Так, линейная оценка (7-34), равная площади, ограниченной кривой переходного процесса и осями, может трактоваться как накопленная ошибка за интервал интегрирования. В энергосистемах накопленная ошибка по частоте равна угловой ошибке. Если от сети переменного тока питаются электрические часы с синхронным ходом, то значение будет пропорционально ошибке часов к моменту Т. Если расходуемая в системе мощность пропорциональна то оценка (7-35) будет пропорциональна потерям энергии в переходном процессе. Если интегральная оценка имеет существенный для управления физический смысл, она является прямой оценкой качества. Когда же она прямого физического смысла не имеет, ее можно рассматривать как косвенную оценку качества.

Линейная оценка.

Пусть дано дифференциальное уравнение

где

Найдем линейную интегральную оценку при ступенчатом воздействии прикладываемом в момент при нулевых начальных условиях слева.

Если не имеет нуля в начале координат, то решение уравнения не будет исчезающей функцией и его установившееся значение

Перейдем к переменной

Изображение Лапласа для у:

Изображение для

Так как

то

Оценку можно уверенно и эффективно применять, если заведомо известно, что — монотонная функция. Тогда может служить косвенной оценкой времени регулирования, поскольку с уменьшением значение убывает и при также обращается в нуль. Однако критерии монотонности весьма сложны, связь неизвестна, поэтому оценка применяется сравнительно редко, несмотря на исключительную простоту ее вычисления.

Однако утверждать, что оценка применима только для монотонных процессов, было бы слишком категорично. В некоторых случаях для не очень сложных систем хорошие результаты дает совместное использование оценки и критерия апериодичности, более простого, чем критерий монотонности. В этом случае можно построить область апериодичности в плоскости доступного для изменений параметра (или параметров), выбрать значения параметров внутри области с двойным или тройным запасом (т. е. умножить на 2 или 3 критические значения параметров — их наименьшие значения на границе области) и потребовать, чтобы оценка равнялась нулю. Тогда процесс затухает достаточно быстро, с одним перерегулированием, начальная площадь проходимая за малый промежуток времени компенсируется сильно растянутой отрицательной площадью имеющей малые ординаты и можно считать, что процесс затухает за время

Рис. 7-11.

Условие равенства нулю оценки

На рис. 7-11 показана кривая переходного процесса для передаточной функции

Критическое значение А (на границе области апериодичности) равно 2, а выбранное значение соответствует примерно двойному запасу

Квадратичная оценка.

В настоящее время вычисление квадратичной оценки и ее исследование обычно производят по коэффициентам полиномов передаточной функции, составленной для переменной

Если передаточная функция имеет вид

можно воспользоваться формулами для вычисления предложенными в [30, 60]. При выполнении условий устойчивости квадратичная оценка (7-35) для переменной

где

— определители, получающиеся из А заменой столбца столбцом . Нетрудно видеть, что определитель А равен определителю Гурвица.

Если же то изображение принимает вид:

Для этого случая [60]

где А в получается из определителя А заменой нижней строки строкой

Вывод приведенных формул громоздок, и желающим его изучить рекомендуем [7, 30].

Использование квадратичных оценок.

Первое приложение квадратичной оценки состоит в выборе некоторых из варьируемых параметров системы А, В... так, чтобы минимизировалось значение Для этого выражают через варьируемые параметры и затем ищут значения параметров из уравнений

Аналитически эта задача решается в сравнительно несложных случаях. При высоком порядке аналитический расчет становится слишком громоздким. Часто задача осложняется еще тем, что на параметры А и В по техническим условиям накладываются ограничения и задача переходит в класс задач нелинейного программирования.

Когда аналитический расчет чрезмерно сложен, прибегают или к графическому построению при различных или решают задачу численно на ЭВМ.

Пример. Выбор параметров системы второго порядка по критерию наименьшей квадратичной ошибки.

Сначала рассмотрим общий вид уравнения системы:

Передаточная функция для переменной у

Изображение переменной при

Установившееся значение переменной у

Выражение для ошибки

Начальное и установившиеся значения ошибки

Из (7-43) находим:

Интегральная квадратичная оценка

Теперь рассмотрим передаточную функцию вида

К такому виду ее можно привести, например, использовав методику, изложенную в § 2-4 [формула (2-69)]. Коэффициент А пропорционален демпфированию, коэффициент В — постоянной времени форсирующего звена. Подставляя в найденное значение значения получаем:

Попытаемся найти А и В, минимизирующие

или

или

Рис. 7-12.

Уравнения (7-46) и (7-48) несовместны, их формальное решение

Задачу можно решить, выбрав В равным наибольшему допустимому по техническим и экономическим соображениям значению . Тогда

Теперь рассмотрим систему без форсирования Для нее

откуда оптимальное значение, минимизирующее интегральную квадратичную ошибку,

Этот результат известен и используется в приборостроении. Переходный процесс при показан на рис. 7-12 сплошной линией. Он получился довольно колебательным, с перерегулированием, близким к 20%. Вторая кривая, показанная штриховой линией, получена в результате улучшения квадратичной оценки, которое рассматривается дальше, в продолжении примера.

В системах, у которых числитель передаточной функции — постоянная величина, при минимизации квадратичной интегральной ошибки процессы обычно имеют значительную колебательность. Это связано с тем, что минимизация равносильна стремлению максимально приблизить процесс к ступенчатой функции, что требует довольно энергичных воздействий на систему и приводит к перерегулированиям.

Если получаемая таким путем колебательность нежелательна, оценку можно смягчить, потребовав минимум интеграла

Преобразуем этот интеграл:

Нетрудно видеть, что при заданных интеграл будет иметь минимальное значение при соблюдении условия

при котором х изменяется по закону

Таким образом, полученная экспонента минимизирует значение интеграла. В соответствии с терминологией вариационного исчисления ее называют экстремалью.

Введение оценки (7-36) равносильно стремлению приблизить процесс уже не к скачку, а к экспоненте, поэтому процесс получается более плавным (рис. 7-12, штриховая линия).

Экстремаль не должна затухать медленнее, чем процесс с желаемым временем регулирования. Поэтому можно потребовать, чтобы время регулирования при экспоненциальном процессе было не меньше желаемого . А так как время регулирования примерно в 3—4 раза больше основной постоянной времени, то, допуская известный запас, выбрать в 5—6 раз меньше

Если не задано заранее и его желательно иметь возможно меньшим, то можно поступить так. Сначала выбрать параметр, минимизирующий оценку затем поставить условием, чтобы введение не уменьшало времени затухания процесса при определить это время и выбрать в 5—6 раз меньше.

Продолжение примера. Введем при тех же исходных данных оценку

Так как изображение производной

соответствует виду (7-44), то можно вычислить по формуле (7-45):

Если

Комбинированная оценка

Для нахождения оптимального А решаем уравнение

откуда

Из рис. 7-12 следует, что процесс при затухает за 8—10 единиц времени. Потребуем, чтобы экспонента затухала не медленнее. Выберем с некоторым запасом:

Тогда Переходный процесс показан на рис. 7-12 прерывистой линией. Как видно, качество процесса существенно улучшилось: время затухания сократилось до 6—7 единиц, а перерегулирование уменьшилось более чем вдвое.