2-4. ЛИНЕЙНОЕ ЗВЕНО. ВЕСОВЫЕ, ПЕРЕХОДНЫЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И МАТРИЦЫ

Выделенную каким-либо образом из системы ее часть называют звеном: простым, если порядок описывающего его дифференциального уравнения не выше второго, и сложным — при более высоком порядке. Непрерывные линейные звенья в зависимости от вида их уравнения разделяют на обыкновенные (с сосредоточенными параметрами) и особые (с чистым запаздыванием, с распределенными параметрами, с переменными параметрами). Уравнение обыкновенного линейного звена

где — полиномы от степеней соответственно. Решение уравнения при заданных начальных условиях называют переходным процессом. Представляют интерес процессы при некоторых типовых начальных условиях и воздействиях.

В качестве типовых начальных условий принимают нулевые начальные значения слева в момент времени при условии, что воздействия до этого момента отсутствовали. Это означает, что звено до начального момента находилось в состоянии покоя:

Иногда по оси х откладывают отклонения х от установившегося значения так, чтобы с течением времени х стремилась к нулю. Тогда нулевыми значениями в начальный момент будут обладать производные само же значение в общем случае будет отличным от нуля.

В дальнейшем наряду с символической записью уравнений в форме (2-19) будет использоваться изображение переменных и уравнений по Лапласу. При нулевых условиях слева изображение Лапласа для уравнения (2-19) совпадает с ним по виду:

В качестве типовых воздействий обычно принимают ступенчатую, импульсную или гармоническую функцию.

Единичная ступенчатая функция (рис. 2-3)

удобна для приближенного описания быстро изменяющихся воздействий на входе звена в момент и в установившемся

режиме, имеющих постоянное значение. Примером может служить внезапное подключение или отключение нагрузки в промышленных установках.

Рис. 2-3.

Нормальная реакция (т. е. реакция при нулевых начальных условиях) на единичную ступенчатую функцию называется переходной функцией и обозначается Переходную функцию удобно выражать с помощью формул операционного исчисления Хевисайда. Если все корни характеристического полинома звена простые, т. е. не равные друг другу и отличные от нуля, и если т.п, то при

где — корни характеристического уравнения звена

При наличии групп кратных корней с кратностью корня в -группе выражение переходной функции будет:

где

Формулу (2-26) можно рассматривать как общую, так как если в группе только один корень, то, так как для данной группы получим из (2-26) выражение, аналогичное (2-23).

Если известна при единичном ступенчатом воздействии, то при произвольном воздействии переходный процесс можно выразить через с помощью интеграла Дюамеля:

Импульсная единичная функция (дельта-функция Дирака) относится к классу обобщенных функций. Ее определяют равенствами

Поскольку с точки зрения классического анализа условия (2-29), строго говоря, несовместимы, не есть обычная функция. удобна для обозначения идеально «тонких» импульсов, введение которых взамен реальных «очень тонких» импульсов существенно упрощает математическое исследование и широко используется. Однако с точки зрения анализа получаемые формально путем операций над -функциями выражения нуждаются в строгих обоснованиях. Для обоснования вместо -функции вводят обычные функции, такие, что -функции получаются из них в результате предельных переходов. Примером может служить функция

обладающая свойствами

и при возрастании стремящаяся к единичной ступенчатой функции:

-функцию можно найти с помощью предельного перехода

где

-функцию можно трактовать как бесконечно короткий по времени импульс бесконечно большой амплитуды, но с конечной, равной единице, площадью. Из определения следует:

Нормальная реакция на импульсную функцию называется импульсной переходной функцией (весовой функцией). Ее также можно получить с помощью формул Хевисайда. Для простых корней

Вообще же

где имеют те же значения, что и в (2-26).

Нормальная реакция звена на произвольное воздействие также выражается через импульсную переходную функцию с помощью интеграла

Функция является частным случаем функции Грина в теории решений дифференциальных уравнений.