О статике многосвязных систем.

В некоторых производственных процессах требуется осуществлять одновременно регулирование нескольких переменных. Так, на электростанциях необходимо регулировать частоту (скорость вращения) и напряжение синхронных генераторов, на паровых котлах — температуру, давление пара, уровень воды, в отходящих из топки газах и т. п. В таких системах необходимо иметь несколько регулирующих органов, не меньше, чем число регулируемых величин. Обычно, хотя каждый из этих органов вызывает изменение всех величин, он в силу конструкции оказывает наиболее сильное влияние на одну из них. На изменение напряжения генератора наиболее сильное влияние оказывает возбуждение, на частоту — впускной клапан турбины; изменение курса самолета осуществляется рулем поворота, хотя при этом изменятся и другие координаты. Если построить для управления систему из нескольких «сепаратных» регуляторов, каждый из которых измеряет отклонения одной величины и воздействует на единственный регулирующий орган, считающийся основным для данной величины, то фактически из-за наличия связей между переменными через объект эти регуляторы будут также связаны между собою. Большая сложность исследования, расчета и настройки таких многосвязных систем привела к поискам путей преодоления этих трудностей.

В 1934-1938 гг. И. Н. Вознесенский предложил для этой цели принцип автономности регулирования. В соответствии с этим принципом на регуляторы накладываются дополнительные связи по переменным так, чтобы при ликвидации возникшего отклонения одной из переменных система восстанавливала только ее отклонение, остальные же переменные оставались при этом неизменными. При этом достигалось также (в рассмотренных И. Н. Вознесенским примерах) расчленение системы на ряд независимых друг от друга систем регулирования одной величины. В примерах Вознесенского регулирование по каждой величине описывалось уравнением первого порядка, а регуляторы были безынерционными. Упрощение анализа и возможность расчленения системы на простейшие представлялись настолько заманчивыми, что идея автономности долго привлекала внимание.

Исследование автономности в общем виде было выполнено в 1950 г. А. С. Боксенбомом и Р. Худом. Рассмотрим с помощью их метода условия статической автономности, т. е. независимости значений переменных друг от друга в статике.

Исходные уравнения статики, полученные на основе физического обследования,

могут содержать, кроме управляемых переменных, еще ряд промежуточных и общее число переменных больше числа управляемых переменных Первое требование к системе состоит в том, чтобы она была разрешима относительно переменных, т. е. чтобы ранг матрицы А был не меньше так же как и ранг расширенной матрицы. Тогда из уравнений (3-12) можно получить уравнения для регулируемых переменных

Цепочку в структурной схеме, соответствующую (3-13), назовем каналом координаты Можно сказать, что через канал осуществляется косвенное измерение интегрального эффекта группы возмущений посредством переменной

Система, естественно, должна быть управляемой в том смысле, что для каждого заданного набора переменных и возмущений можно найти набор управлений обеспечивающий эти заданные значения х. Для нахождения такого набора можно решить обратную задачу: считая заданными х и находим значения и, т. е. решаем систему уравнений (3-13) относительно Чтобы эта система была разрешима, необходимо, чтобы число уравнений было не меньше числа переменных, т. е. и чтобы ранги матрицы V и расширенной матрицы были не меньше Если т. е. имеются избыточные управления, задача решается неоднозначно и имеется возможность наложить на систему дополнительные условия, например условия оптимальности. Однако рассмотрение таких задач с избыточностью будет далее, здесь же будем считать Тогда задача формулируется так.

Пусть задана система уравнений объекта (3-13), где — передаточные коэффициенты. Будем искать коэффициенты связей по переменным для регулятора по отклонению, уравнение которого задается в виде

так, чтобы выполнялись некоторые дополнительные условия. Число связей равно следовательно, можно задать условий.

Подставим (3-14) в (3-13). Получим систему уравнений

Определитель системы

Решения относительно

где — алгебраические дополнения элементов

Условия автономности, выражающие независимость изменений переменных друг от друга, имеют общий вид:

Общее число таких равенств при любых равно число равенств с одинаковыми индексами равно таким образом, число условий автономности равно Это означает, что коэффициентов можно выбрать произвольно. Будем считать, что «собственных» коэффициёнтов заданы, и выразим через них остальные «взаимных» коэффициентов

Продифференцируем по уравнения (3-14) с учетом (3-18)

Продифференцируем (3-13) по с учетом (3-18) и (3-19). Получим систему уравнений

Запишем левую часть уравнений (3-20) в виде

где при при (символ Кронекера). Обозначим через алгебраическое дополнение элемента определителя и воспользуемся известными соотношениями

Умножим обе части уравнений (3-21) на и просуммируем по индексу

можно вывести из-под знака суммы по и левую часть равенства (3-23) привести к виду

так как внутренняя сумма в левой части последнего выражения в соответствии с (3-22) отлична от нуля и равна лишь при . В правой части (3-23) вынесем за знак суммы по множитель приведя ее к виду

так как внутренняя сумма в левой части последнего выражения отлична от нуля лишь при Тогда

В частности, полагая находим:

Разделив (3-25) на (3-26), получим:

Взаимные связи выражены, таким образом, через собственные. Подставив их значения в (3-17), после преобразований получим:

При этом было учтено, что при выполнении условий автономности определитель становится диагональным

и соответственно

В качестве дополнительных условий для выбора коэффициентов можно, например, использовать условия, чтобы статизмы по всем переменным имели заданные значения :

отсюда