6-2. D-РАЗБИЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ

Выделим в характеристическом уравнении два параметра (А и В):

Подставим и получим два уравнения:

где

Рис. 6-4.

Обратим внимание на необходимость упорядочения расположения самих уравнений (6-10) и входящих в них членов: в первой строке пишется уравнение, полученное от приравнивания нулю вещественной части во второй — мнимой; сначала в каждой строке пишутся члены, содержащие параметр, откладываемый по оси абсцисс, т. е. А, затем члены с параметром В, откладываемым по оси ординат.

Разрешим уравнения (6-10) относительно А и В:

где

Возможны следующие случаи:

1. Определитель А и функции не обращаются одновременно в нуль, уравнения при данных значениях со совместны и равенства (6-11) определяют точку в плоскости параметров А, В.

2. При некотором значении о обращается в нуль определитель А, а определители, стоящие в числителях, отличны от нуля. Уравнения (6-11) несовместны и не имеют конечных решений. Точка уходит в бесконечность.

3. При некотором значении со все определители в (6-11) обращаются в нуль. Решение неопределенно, одно из уравнений становится следствием другого, отличаясь от него на постоянный множитель, и в плоскости А, В получается прямая

которая называется особой прямой. Она не относится к D-разбиению, так как не является уникурсальной: всем ее точкам соответствует одно значение , и направление движения по ней отметить невозможно.

Заметим, что значению всегда соответствует особая прямая. В самом деле, так как нечетные функции то в них можно вынести за скобку. Тогда

Сокращать можно, если Когда имеем т. е. особую прямую. Ее можно и непосредственно получить из уравнений (6-10)

при получим уравнение особой прямой

Нетрудно видеть, что оно соответствует уравнению и переходу через начало координат из одной полуплоскости а другую одного вещественного корня и поэтому прямая штрихуется однократно.

Кроме того, особой прямой могут быть и другие прямые для значений со, отличающихся от нуля. Эти прямые будут соответствовать переходу через мнимую ось пары комплексных корней и штрихуются дважды.

Необходимо отметить еще одно важное обстоятельство: если хотя бы один из параметров А или В входит в коэффициент при старшем члене уравнения то (так как перемена знака нарушает условия устойчивости) получается еще одна особая прямая . Ее уравнение получается из (6-10) при . Эта прямая соответствует уходу одного из корней в бесконечность и штрихуется однократно. Бывает и так, что при этом одновременно обращаются в нуль коэффициенты тогда имеем случай ухода в бесконечность пары корней и понижения порядка уравнения на два. При этом соответствующая линия штрихуется дважды.

Неймарк показал [43], что при нанесении штриховки следует руководствоваться следующими правилами.

Если при движении вдоль кривой Л-разбиения в направлении возрастания со определитель А положителен, то штриховка наносится слева; если отрицателен — справа.

Особая прямая штрихуется лишь тогда, если она пересекается или имеет общую точку с кривой Л-разбиения или приближается к ней асимптотически, причем в общей точке или в бесконечно удаленной точке сближения асимптоты и кривой определитель А меняет знак. Штриховка накладывается так, чтобы она лежала в той же окрестности точки пересечения или сближения, в какой расположена и штриховка кривой D-разбиения. Если в точке пересечения А знака не меняет, то данное пересечение не оказывает влияния на штриховку. Если же других пересечений при этом нет, то особая прямая не штрихуется вообще.

Различные способы штриховки особых прямых показаны на рис. 6-5; а — особая прямая и кривая -разбиения сближаются асимптотически, штриховка прямой однократная; б — особая прямая имеет общую точку С с кривой, но не пересекается с ней, штриховка однократная; на этом же рисунке пересечения в точках Е и не влияют на ход штриховки, так как определитель А в этих точках не меняет знака; в — меняет знак в точке пересечения М, штриховка двойная; вторая точка на штриховку не влияет; точке пересечения знак А не меняется, прямая не штрихуется.

Если параметры А и В входят в уравнение нелинейно, то после разделения вещественной и мнимой частей получаем:

Успех построения зависит от того, удается ли разрешить уравнения относительно А и В, т. е. найти зависимости

Рис. 6-5.

Построение, если эти зависимости найдены, ведется аналогичным образом. Но теперь особым случаям могут соответствовать особые кривые. Штриховка наносится в соответствии со знаком якобиана

(штриховка наносится слева, если якобиан положителен).

Пример 1. Дано характеристическое уравнение

Найдем область устойчивости с помощью D-разбиения (хотя, конечно, в данном случае ее легко построить прямо но условию положительности коэффициентов уравнения). Подставим и отделим вещественную и мнимую части:

Кривую D-разбиения определим из выражения

Определитель . Вспомогательные графики А и В в функции показаны на рис. 6-6. Особые прямые

D-разбиение показано на рис. 6-7.

Рис. 6-6.

Рис. 6-7.

Пример 2. Определить влияние на устойчивость параметров К, Р и: Т в схеме рис. 6-8.

Передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы

Подставив и обозначим

Разделив вещественную и мнимую части, найдем:

Рис. 6-8.

Хотя параметры входят нелинейно, задачу можно свести к линейной, рассмотрев сначала в качестве параметров Построим семейство кривых D-разбиения в плоскости параметров К и при различных значениях При этом параметры К и будут выражаться так:

Пусть, в частности, (три последовательно включенных звена с одинаковыми постоянными времени ). Тогда

Введем безразмерные параметры Получим:

Обозначим Величины и у будем рассматривать как относительные показатели соответственно воздействия по первой производной и ее искажения. Параметры входят в уравнения линейно. Построим кривые D-разбиения в плоскости параметров и К при значениях Для построения поделим второе из последних уравнений на первое и получим следующие два уравнения для параметров

При имеем особую прямую . При (введение чистой производной) переменная и легко исключается:

Соответствующая кривая показана на рис. 6-9, а. Там же показаны кривые для случаев , вычисленные по приведенным выше форму-. При штриховке учитывались соотношения

Знак якобиана совпадает со знаком и, если . При изменении и от до 0 движение по кривым происходит сверху вниз, и, так как

Рис. 6-9.

штрихуем их справа. При изменении и от 0 до кривые штрихуются слева.

Обозначим через . максимальное для данного значение коэффициента усиления, а через — соответствующее ему значение . По известным правилам нахождения экстремумов функций найдем:

где

Кривые для в функции у (при ) построены на рис. 6-9, б.

Нетрудно видеть, что при т. е. при введении чистой производной, коэффициент усиления в данном примере может быть доведен до сколь угодно большого значения без потери устойчивости.